极坐标系
极坐标系由极点（相当于平面直角坐标系中的原点）和 x 轴正半轴组成，该坐标系中的任意位置可由一个夹角和一段相对于极点的距离来表示。
极坐标的格式
\((r,\theta)\)，其中 \(r\) 叫做半径坐标，\(\theta\) 叫做极角。
极坐标系与平面直角坐标系之间的变换
极坐标 \((r,\theta)\)，直角坐标 \((x,y)\)
直角坐标到极坐标
\[r = \sqrt{x^2+y^2}\\ \theta = \arctan2(y,x) \]
极坐标到直角坐标
\[x=r\cos \theta\\ y=r\sin \theta \]
极坐标系方程
圆
如果限定极点为圆心，那么半径为 \(a\) 的圆的方程为 \(r(\theta)=a\)。
如果圆心为 \((r_0,\theta)\)，圆的半径为 \(R\)，那么此圆的直角坐标系方程为：
\[(x-r_0\cos\theta)^2+(y-r_0\sin\theta)^2=R^2 \]
设圆上的点的极坐标为 \((p,\alpha)\)，则 \(x=p\cos\alpha\)，\(y=p\sin\alpha\)。
因此：
\[p^2-2pr_0(\cos\alpha\cos\theta+\sin\alpha\sin\theta)+r_0^2=R^2 \]
即：
\[p^2+r_0^2-2pr_0\cos(\alpha-\theta)=R^2 \]
直线
过极点的射线方程：\(\theta=\varphi\)，其中 \(\varphi\) 为射线的倾斜角。
任何不经过极点的直线都会与某条过极点的射线垂直，若某直线在点 \((r_0,\varphi)\) 处与射线 \(\theta=\varphi\) （该射线过极点）垂直，那么它的方程为：
\[r(\theta)=r_0\frac1{\cos(\theta-\varphi)} \]
阿基米德螺线
\[r(\theta)=a+b\theta \]
这里 \(\theta\in[0,\infty)\)。
常量 \(b\) 控制螺线间距离，常量 \(a\) 改变螺线形状。
玫瑰线
\[r(\theta)=a\cos (k\theta) \]
或者
\[r(\theta)=a\sin(k\theta) \]
就是把三角函数盘起来了。