寫在前面：
高考復習筆記
有原創內容（大概吧呃呃呃）
http://rhads.deviantart.com/art/KIRIBAN-77777-362416675
| 目錄 |
定義
圓錐曲線是由一平面截二次錐面得到的曲線，包括橢圓、拋物線、雙曲線（高中認為圓不是橢圓）。
拋物線不是雙曲線的一支（下圖中仍然為雙曲線而不是拋物線）
橢圓第一定義：平面內，到兩定點F1、F2的距離的和等於常數2a的點的集合。（2a>|F1F2|）
橢圓第二定義：平面內，到定點F距離與到定直線l間距離之比為常數e的點的集合。（定點F不在定直線上，e為離心率，0<e<1，左准線配左焦點，右准線配右焦點）
橢圓第三定義：平面內，到兩定點的斜率乘積等於常數 e2- 1的點的集合（再補上斜率不存在的直線對應的點）。（然后可以規定兩定點連線中點為原點）（e為離心率，0<e<1）
表示方法：
①標准方程
焦點在x軸上：
焦點在y軸上：
規律：a在誰下面，焦點就在誰上
②參數方程
焦點在x軸上：
或 
焦點在y軸上：
或 
規律：a和誰在一起，焦點就在誰上
原理：
若取內切圓的y坐標為橢圓y坐標，取外接圓的x坐標為橢圓x坐標，焦點就在x軸上
若取內切圓的x坐標為橢圓x坐標，取外接圓的y坐標為橢圓y坐標，焦點就在y軸上
③極坐標：略
圖例：
雙曲線第一定義：平面內，到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值為常數2a的點的集合。
雙曲線第二定義：平面內，到定點F及直線l的距離之比為常數e的點的集合。（定點F不在定直線上，e為離心率，1<e，左准線配左焦點，右准線配右焦點）
雙曲線第三定義：平面內，到兩定點的斜率乘積等於常數 e2- 1的點的集合（再補上斜率不存在的直線對應的點）。（然后可以規定兩定點連線中點為原點）（e為離心率，1<e）（因為順序問題，過兩定點的直線不可能是之后作出來的雙曲線的漸近線）
表示方法：
①標准方程
焦點在x軸上：
焦點在y軸上：
規律：誰是正的，焦點和實軸就在誰上
②參數方程
焦點在x軸上：
焦點在y軸上：
規律：sec和誰在一起，焦點和實軸就在誰上
原理：
③極坐標：略
圖例：
拋物線定義：到定點F及直線l的距離之比為1的點的集合。（定點F不在定直線上，e為離心率，e=1）
表示方法：
①標准方程
焦點在x軸正半軸：x = 2py2
焦點在x軸負半軸：x = -2py2
焦點在y軸正半軸：y = 2px2
焦點在y軸負半軸：y = -2px2
規律：帶“-”就在負半軸，誰是一次的焦點在誰上
②參數方程：略
③極坐標：略
圖例：
歷史
對於圓錐曲線的最早發現，眾說紛紜。
有人說，古希臘數學家在求解“立方倍積”問題時，發現了圓錐曲線。
又有人說，古希臘數學家在研究平面與圓錐面相截時發現了與“立方倍積”問題中一致的結果。
還有認為，古代天文學家在制作日晷時發現了圓錐曲線（然而日晷在古代已失傳）。
早期對圓錐曲線進行系統研究成就最突出的可以說是古希臘數學家Apollonius。他與Euclid是同時代人，其巨著《圓錐曲線》與Euclid的《幾何原本》同被譽為古代希臘幾何的登峰造極之作。
在《圓錐曲線》中，Apollonius總結了前人的工作，尤其是Euclid的工作，並對前人的成果進行去粗存精、歸納提煉並使之系統化的工作，在此基礎上，又提出許多自己的創見。全書8篇，共487個命題，將圓錐曲線的性質網羅殆盡，以致后代學者幾乎沒有插足的余地達千余年。
常見性質
1.橢圓第一定義
2.橢圓第二定義
3.橢圓第三定義
4.焦半徑長公式：
焦半徑：連結橢圓上一點與對應焦點的線段的長度，叫做橢圓焦半徑
①無論P(x0,y0)在橢圓上哪里，焦點在x軸上：r =a+ex0（左焦點） r =a-ex0（右焦點）
②無論P(x0,y0)在橢圓上哪里，焦點在y軸上：r =a-ex0（上焦點） r =a+ex0（下焦點）
5.通經長公式：
通徑：過圓錐曲線的焦點且與過焦點的軸垂直的弦稱為通徑
（無論焦點在哪個軸）
6.橢圓中的圓：
①以焦點弦為直徑的圓與其對應的准線相離
②以焦半徑為直徑的圓與以長軸為直徑的圓內切
7.弦AB所在直線的斜率kAB與其中點M和原點O連線的斜率kOM乘積：
①焦點在x軸 
②焦點在y軸 
8.過橢圓上一點P(x0,y0)的切線方程：
①焦點在x軸 
②焦點在y軸 
9.過橢圓外一點P(x0,y0)的兩條切線，兩切點所在直線方程：
①焦點在x軸
②焦點在y軸
10.弦長公式：
已知橢圓上不重合兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)
1.雙曲線第一定義
2.雙曲線第二定義
3.雙曲線第三定義
4.漸近線斜率：
①焦點在x軸 k1=
k2=
②焦點在y軸 k1=
k2=
5.共軛雙曲線：
如果一雙曲線的實軸及虛軸分別為另一雙曲線的虛軸及實軸，則此二雙曲線互為共軛雙曲線
①共軛雙曲線的四個焦點共圓
②共軛雙曲線離心率的平方和等於離心率的平方積
6.等軸雙曲線(直角雙曲線)：
實軸和虛軸相等的雙曲線叫作等軸雙曲線(直角雙曲線)
①
②半實軸長與半虛軸長相等
③兩條漸近線斜率為k1=1，k2=-1，兩條漸近線相互垂直
7.焦半徑長公式：
焦半徑：連結雙曲線上一點與對應焦點的線段的長度，叫做雙曲線焦半徑
①P(x0,y0)在雙曲線左支，焦點在x軸上：r = -a-ex0（左焦點） r = a-ex0（右焦點）
②P(x0,y0)在雙曲線右支，焦點在x軸上：r = a-ex0（左焦點） r = -a-ex0（右焦點）
③P(x0,y0)在雙曲線上支，焦點在y軸上：r = -a-ex0（上焦點） r = a-ex0（下焦點）
④P(x0,y0)在雙曲線下支，焦點在y軸上：r = a-ex0（上焦點） r = -a-ex0（下焦點）
8.通經長公式：
通徑：過圓錐曲線的焦點且與過焦點的軸垂直的弦稱為通徑
（無論焦點在哪個軸）
9.雙曲線中的圓：
①以焦點弦為直徑的圓與對應准線相交
②以焦半徑為直徑的圓與實軸為直徑的圓外切
10.弦長公式：
已知雙曲線上不重合兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)
11.弦AB所在直線的斜率kAB與其中點M和原點O連線的斜率kOM乘積：
①焦點在x軸 
②焦點在y軸 
12.過雙曲線上一點P(x0,y0)的切線方程：
①焦點在x軸 
②焦點在y軸 
13.過雙曲線外一點P(x0,y0)的兩條切線，兩切點所在直線方程：
①焦點在x軸 
②焦點在y軸 
1.拋物線定義
2.焦半徑公式：
焦半徑：連結拋物線上一點與對應焦點的線段的長度，叫做拋物線焦半徑
①焦點在x軸上：P(x0,y0)，
②焦點在y軸上：P(x0,y0)，
3.通經長公式：
通徑：過圓錐曲線的焦點且與過焦點的軸垂直的弦稱為通徑
（無論焦點在哪個軸）
4.弦長公式 ：
已知拋物線上不重合兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)
