2020年高考數學全國1卷圓錐曲線

已知 \(A,B\) 分別為橢圓 \(E:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>0)\) 的左、右頂點，\(G\) 為 \(E\) 的上頂點，\(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}=8\) ，\(P\) 為直線 \(x=6\) 上的動點，\(PA\) 與 \(E\) 的另一交點為 \(C\) ，\(PB\) 與 \(E\) 的另一交點為 \(D\) .

(1) 求 \(E\) 的方程；

(2) 證明：直線 \(CD\) 過定點.

解析：

(1) \(\dfrac{x^2}{9}+y^2=1\)

(2) 設 \(C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)\) ，則有

\[l_{AC}:y=\dfrac{y_1}{x_1+3}(x+3)\;\;,\;\;l_{BD}:y=\dfrac{y_2}{x_2-3}(x-3) \]

因為直線 \(AC,BD\) 交於直線 \(x=6\) 上同一點，則

\[\begin{align}\dfrac{9y_1}{x_1+3}=\dfrac{3y_2}{x_2-3}\end{align} \]

情形一 當直線 \(CD\) 斜率存在時，設直線 \(CD\) 的方程為 \(y=kx+m\) ，聯立

\[\begin{cases}y=kx+m\\x^2+9y^2=9\end{cases}\Longrightarrow(1+9k^2)x^2+18kmx+9m^2-9=0 \]

則 \(x_1+x_2=-\dfrac{18km}{1+9k^2},x_1x_2=\dfrac{9m^2-9}{1+9k^2}\) ，將 \((1)\) 式兩邊平方得

\[\begin{align}\dfrac{9\cdot9y_1^2}{(x_1+3)^2}=\dfrac{9y_2^2}{(x_2-3)^2}\end{align} \]

因為 \(C,D\) 在橢圓 \(E\) 上，則

\[9y_1^2=9-x_1^2\;,\;9y_2^2=9-x_2^2 \]

代入 \((2)\) 式，得

\[\dfrac{9\cdot(9-x_1^2)}{(x_1+3)^2}=\dfrac{9-x_2^2}{(x_2-3)^2} \]

化簡得

\[4x_1x_2-15(x_1+x_2)+36=0 \]

則

\[4\cdot\dfrac{9m^2-9}{1+9k^2}+15\cdot\dfrac{18km}{1+9k^2}+36=0 \]

化簡得

\[2m^2+15km+18k^2=(2m+3k)(m+6k)=0 \]

解得 \(m=-\dfrac{3}{2}k\) 或 \(m=-6k\) (舍) ，則直線 \(CD\) 為 \(y=k\Big(x-\dfrac32\Big)\) ，過定點 \(\Big(\dfrac32,0\Big)\) .

情形二 當直線 \(CD\) 的斜率不存在時，設為 \(x=m\) ，則此時 \(x_1=x_2=m,y_1=-y_2\) ，代入 \((1)\) 式求得 \(m=\dfrac{3}{2}\) ，過點 \(\Big(\dfrac32,0\Big)\)

綜上，直線 \(CD\) 過定點 \(\Big(\dfrac32,0\Big)\) .