常见曲线的参数方程

前言

总结梳理常见曲线的参数方程；其中抛物线和双曲线的参数方程不要求掌握；

参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线\(C\)上任意一点\(P\)的坐标\(x\)、\(y\)都是某个变数\(t\)的函数：

\[\left\{\begin{array}{l}{x=f(t)}\\{y=g(t)}\end{array}\right. \]

并且对于\(t\)的每一个允许的取值，由方程组确定的点\((x, y)\)都在这条曲线\(C\)上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数\(x\)、\(y\)的变数\(t\)叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

例如在运动学，参数通常是“时间”，而方程的结果是速度、位置等。用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线[例如摆线]，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，有了参数方程，就可以很容易表达。

直线参数方程

直线的参数方程的形式不唯一，当选定的参数不一样时，参数方程的形式也就不一样了。

[方式1]：已知直线所过的定点\((x_0，y_0)\)和倾斜角\(\theta\)，则以定点到动点\((x，y)\)的有向线段的位移为参数，可知

直线的参数方程为$$\begin{cases}x=x_0+cos\theta\cdot t\y=y_0+sin\theta\cdot t\end{cases}(t为参数)$$

[方式2]：以定比分点为参数

[方式3]：以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数，

例1 以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho=4cos\theta\)，曲线\(M\)的直角坐标方程为\(x-2y+2=0(x>0)\)，以曲线\(M\)上的点与点\(O\)连线的斜率为参数，写出曲线\(M\)的参数方程；

分析：由\(\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0(x>0)①}\\{y=kx②}\end{array}\right.\)

解方程，消去\(y\)，解得\(x=\cfrac{2}{2k-1}\)，代入②得到，\(y=\cfrac{2k}{2k-1}\)，由\(x=\cfrac{2}{2k-1}>0\)，得到\(k>\cfrac{1}{2}\)

故曲线\(M\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{2}{2k-1}}\\{y=\cfrac{2k}{2k-1}}\end{array}\right.\) (\(k\)为参数，\(k>\cfrac{1}{2}\))

圆参数方程

圆\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta}\\{y=2+2sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

椭圆参数方程

椭圆\(\cfrac{x^2}{4^2}+\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=3sin\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)

抛物线参数方程

抛物线\(y^2=4x\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4t^2}\\{y=4t}\end{array}\right.\quad\) (\(t\)为参数)

双曲线参数方程

双曲线\(\cfrac{x^2}{4^2}-\cfrac{y^2}{3^2}=1\)的的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=4sec\theta}\\{y=3tan\theta}\end{array}\right.\quad\) (\(\theta\)为参数)