前言
消參的常用方法有：代入消參法，加減消參法，乘除消參法，平方消參法[或變形后平方消參]，組合消參法等。
方法例說
- 代入消參法
引例如，直線\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+t①}\\{y=2-t②}\end{array}\right.(t為參數)\)，
將\(t=x-1\)代入②，得到\(y=2-(x-1)\)，
即\(x+y-3=0\)，代入消參完成。
- 加減消參法
依上例，兩式相加，得到\(x+y-3=0\)，加減消參完成。
- 乘除消參法
引例1如，\(\begin{cases}x=t cos\theta①\\y=t sin\theta②\end{cases}(t為參數)\) ，
針對要作分母的\(cos\theta\)分類討論如下：
當\(cos\theta=0\)時，直線為\(x=0\)；
當\(cos\theta\neq 0\)時，由\(\cfrac{②}{①}\)，兩式相除得到\(y=tan\theta\cdot x\)
引例2如，\(\begin{cases}y=k(x-2)\\y=\cfrac{1}{k}(x+2)\end{cases}(k為參數)\)
兩式相乘，消去參數\(k\)，得到\(y^2=x^2-4(y\neq 0)\)，[1]
- 平方消參法
引例如，圓的參數方法\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta①}\\{y=2+2sin\theta②}\end{array}\right.(\theta為參數)\)，
先變形為\(\left\{\begin{array}{l}{x-1=2cos\theta①}\\{y-2=2sin\theta②}\end{array}\right.(\theta為參數)\)，
①②兩式同時平方，再相加，得到
\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)，到此平方消參完成。
- 組合法
引例如，曲線的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=2s^2①}\\{y=2\sqrt{2}s②}\end{array}\right.(s為參數)\)，
- 法1，使用代入消參法，由②得到\(s=\cfrac{y}{2\sqrt{2}}\)，
代入①整理得到，\(y^2=4x\)；
- 法2，平方法+除法消參法，由\(\cfrac{②^2}{①}\)，整理得到，\(y^2=4x\)；
再如曲線的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=t-\cfrac{1}{t}①}\\{y=t+\cfrac{1}{t}②}\end{array}\right.(t為參數)\)，
分析：給①式平方得到，\(x^2=t^2+\cfrac{1}{t^2}-2③\)，
給②式平方得到，\(y^2=t^2+\cfrac{1}{t^2}+2④\)，
\(④-③\)，得到\(y^2-x^2=4\)，消參完成，
本題使用了平方消參法和加減消參法。
注意事項
- 參數方程消參以后需要特別注意的是，消參前后的表達式要等價，這一點常常與我們學習的函數的值域有關。舉例如下：
分析：用帶入法消掉參數\(t\)，得到其普通方程為\(x=3(y+1)+2\)，即\(x-3y-5=0\)。這是直線。
但是，參數\(t\)有范圍，故\(x\)和\(y\)都應該有范圍。
比如，\(x=3t^2+2\in [2，77]\)，由於\(y=\cfrac{x-5}{3}\)是單調函數，故不需要再限制\(y\)的范圍，
即表示的曲線為\(x-3y-5=0(2\leqslant x\leqslant 77)\)，即為一條線段。
分析：由題目可知，\(\rho^2(cos^2\theta-sin^2\theta)=4\)，
即\(x^2-y^2=4\)，即\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{4}=1\)，等軸雙曲線，有左右兩支；
但是題目要求\(\cfrac{3\pi}{4}<\theta<\cfrac{5\pi}{4}\)，則符合題目的只有雙曲線的左支，
故其普通方程為\(x^2-y^2=4(x\leq -2)\)
說明：極坐標方程也存在等價問題。
分析：兩式相乘，消去參數\(k\)，得到\(y^2=x^2-4\)，即\(x^2-y^2=4\)，
那么轉化前后，是否等價，該考慮什么？其實只需要考慮其上的特殊點。
\(x^2-y^2=4\)是焦點在\(x\)軸的等軸雙曲線，頂點是\((\pm2，0)\)，
若\(y=0\)，則\(x=2\)且\(x=-2\)，這不可能。故\(y\neq 0\)，
故所求的普通方程為\(x^2-y^2=4(y\neq 0)\)
例題賞析
分析：由於\(k^2+\cfrac{1}{k^2}=(k-\cfrac{1}{k})^2-2\)，利用此公式消參，得到
\(\cfrac{x}{p}=(\cfrac{y}{p})^2+2\)，即\(y^2=px-2p^2\)，
即中點\(P\)的軌跡方程為\(y^2=px-2p^2\)。
(2)、求線段\(AB\)的中點\(M\)的軌跡\(C\)的方程。
分析【法1】：設直線\(AB\)的方程為\(y=kx\)，點\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)
與圓\(C_1\)聯立，消\(y\)得到，\((1+k^2)x^2-6x+5=0\)，
由\(\Delta =(-6)^2-4\times 5(1+k^2)>0\)，可得\(k^2<\cfrac{4}{5}\)，
由韋達定理可得，\(x_1+x_2=\cfrac{6}{1+k^2}\)，
則線段\(AB\)的中點\(M\)的軌跡\(C\)的參數方程為\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{3}{1+k^2}①}\\{y=\cfrac{3k}{1+k^2}②}\end{array}\right.\)，其中\(-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}<k<\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，
如何消參數呢？兩式相比，得到\(y=kx\)，即\(k=\cfrac{y}{x}\)，
代入①變形整理后得到，\((x-\cfrac{3}{2})^2+y^2=\cfrac{9}{4}\)，
又由於\(k^2<\cfrac{4}{5}\)，得到\(\cfrac{5}{3}<x\leq 3\)，
故線段\(AB\)的中點\(M\)的軌跡\(C\)的方程為\((x-\cfrac{3}{2})^2+y^2=\cfrac{9}{4}\)，其中\(\cfrac{5}{3}<x\leq 3\)。
分析：兩式相除，得到\(y=tx\)，即\(t=\frac{y}{x}\)，代入①式，
得到\(x(1+\frac{y^2}{x^2})=3\)，兩邊乘以\(x\)得到\(x^2(1+\frac{y^2}{x^2})=3x\)，
即\(x^2+y^2=3x\),\((\frac{5}{3}<x\leqslant 3)\)
分析：給①式平方得到，\(x^2=\cfrac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}=\cfrac{t^4-2t^2+1}{t^4+2t^2+1}③\)，
給②式平方得到，\(y^2=\cfrac{(4t)^2}{(1+t^2)^2}=\cfrac{16t^2}{t^4+2t^2+1}④\)，
為消掉參數，需要給④式兩邊同除以\(4\)得到，\(\cfrac{y^2}{4}=\cfrac{4t^2}{t^4+2t^2+1}⑤\)，
③+⑤得到，\(x^2+\cfrac{y^2}{4}=\cfrac{t^4+2t^2+1}{t^4+2t^2+1}=1\).
故所求的普通方法為\(x^2+\cfrac{y^2}{4}=1\).
解后反思：平方后，調整系數再相加，利用分式的和為常數，可以消掉參數；
法1：利用平方法+和差法，\(①^2+②^2\)得到，\(x^2+y^2=2\)；即其普通方程為\(x^2+y^2=2\)；
法2：利用\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)消參，由已知方程反解得到，
\(sin\theta=\cfrac{x+y}{2}\)，\(cos\theta=\cfrac{x-y}{2}\)，
兩式平方得到，\((\cfrac{x+y}{2})^2+(\cfrac{x-y}{2})^2=1\)，
整理得到，\(x^2+y^2=2\)。
解后反思：消參的途徑可能不唯一；
分析：給①式的兩邊平方得到，\(x^2=a^2+1+\cfrac{1}{4a^2}③\)；
給②式的兩邊平方得到，\(y^2=a^2-1+\cfrac{1}{4a^2}④\)；
兩式相減，③-④得到，\(x^2-y^2=2\)；
難點題目
(1)若\(t\)為常數，\(\theta\)為參數，判斷方程表示什么曲線？
分析：觀察參數\(\theta\)所處的位置和方程結構特征，我們可以考慮平方消參法。
由於已知\(\left\{\begin{array}{l}{x=(t+\cfrac{1}{t})sin\theta①}\\{y=(t-\cfrac{1}{t})cos\theta②}\end{array}\right.\)，故分類討論如下：
\(1^{\circ}\)、當\(t\neq \pm1\)時，由①得到\(sin\theta=\cfrac{x}{t+\frac{1}{t}}\)，由②得到\(cos\theta=\cfrac{y}{t-\frac{1}{t}}\)，
平方相加得，\(\cfrac{x^2}{(t+\frac{1}{t})^2}+\cfrac{y^2}{(t-\frac{1}{t})^2}=1\)，
其表示的是中心在原點， 長軸長為\(2|t+\cfrac{1}{t}|\)，短軸長為\(2|t-\cfrac{1}{t}|\)，焦點在\(x\)軸上的橢圓；
\(2^{\circ}\)、當\(t= \pm1\)時，此時\(y=0\)，\(x=\pm 2sin\theta\)，則\(x\in [-2，2]\)，
其表示的是以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)為端點的線段；
綜上可知，
當\(t\neq \pm1\)時，原方程表示焦點在\(x\)軸的橢圓；
當\(t=\pm 1\)時，原方程表示以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)為端點的線段；
(2)若\(\theta\)為常數，\(t\)為參數，方程表示什么曲線？
分析：觀察參數\(t\)所處的位置和方程結構特征，我們可以考慮平方消參法。
由於已知\(\left\{\begin{array}{l}{x=(t+\cfrac{1}{t})sin\theta①}\\{y=(t-\cfrac{1}{t})cos\theta②}\end{array}\right.\)，故分類討論如下：
\(1^{\circ}\)、當\(\theta\neq \cfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)時，由①得到\(\cfrac{x}{sin\theta}=t+\cfrac{1}{t}\)，
由②得到\(\cfrac{y}{cos\theta}=t-\cfrac{1}{t}\)，平方相減得到，
\(\cfrac{x^2}{sin^2\theta}-\cfrac{y^2}{cos^2\theta}=4\)，即\(\cfrac{x^2}{4sin^2\theta}-\cfrac{y^2}{4cos^2\theta}=1\)，
其表示的是中心在原點，實軸長為\(4|sin\theta|\)，虛軸長為\(4|cos\theta|\)，焦點在\(x\)軸上的雙曲線；
\(2^{\circ}\)、當\(\theta=k\pi(k\in Z)\)時，\(x=0\)，它表示\(y\)軸；
\(3^{\circ}\)、當\(\theta=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)時，\(y=0\)，\(x=\pm(t+\cfrac{1}{t})\)，
當\(t>0\)時，\(x=t+\cfrac{1}{t}\ge 2\)，當\(t<0\)時，\(x=-(t+\cfrac{1}{t})\leq 2\)，
則\(|x|\ge 2\)，方程\(y=0(|x|\ge 2)\)表示\(x\)軸上以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)為端點的向左、向右的兩條射線；
綜上可知，
當\(\theta\neq \cfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)，方程表示焦點在\(x\)軸上的雙曲線；
當\(\theta=k\pi(k\in Z)\)時，\(x=0\)，它表示\(y\)軸；
當\(\theta=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)時，方程表示\(x\)軸上以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)為端點的向左、向右的兩條射線；
由於\(k\neq 0\)，當\(y=0\)時，需要\(x=2\)且\(x=-2\)，這是不可能的，故\(y\neq 0\)。 ↩︎