前言
消参的常用方法有：代入消参法，加减消参法，乘除消参法，平方消参法[或变形后平方消参]，组合消参法等。
方法例说
- 代入消参法
引例如，直线\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+t①}\\{y=2-t②}\end{array}\right.(t为参数)\)，
将\(t=x-1\)代入②，得到\(y=2-(x-1)\)，
即\(x+y-3=0\)，代入消参完成。
- 加减消参法
依上例，两式相加，得到\(x+y-3=0\)，加减消参完成。
- 乘除消参法
引例1如，\(\begin{cases}x=t cos\theta①\\y=t sin\theta②\end{cases}(t为参数)\) ，
针对要作分母的\(cos\theta\)分类讨论如下：
当\(cos\theta=0\)时，直线为\(x=0\)；
当\(cos\theta\neq 0\)时，由\(\cfrac{②}{①}\)，两式相除得到\(y=tan\theta\cdot x\)
引例2如，\(\begin{cases}y=k(x-2)\\y=\cfrac{1}{k}(x+2)\end{cases}(k为参数)\)
两式相乘，消去参数\(k\)，得到\(y^2=x^2-4(y\neq 0)\)，[1]
- 平方消参法
引例如，圆的参数方法\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta①}\\{y=2+2sin\theta②}\end{array}\right.(\theta为参数)\)，
先变形为\(\left\{\begin{array}{l}{x-1=2cos\theta①}\\{y-2=2sin\theta②}\end{array}\right.(\theta为参数)\)，
①②两式同时平方，再相加，得到
\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)，到此平方消参完成。
- 组合法
引例如，曲线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=2s^2①}\\{y=2\sqrt{2}s②}\end{array}\right.(s为参数)\)，
- 法1，使用代入消参法，由②得到\(s=\cfrac{y}{2\sqrt{2}}\)，
代入①整理得到，\(y^2=4x\)；
- 法2，平方法+除法消参法，由\(\cfrac{②^2}{①}\)，整理得到，\(y^2=4x\)；
再如曲线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=t-\cfrac{1}{t}①}\\{y=t+\cfrac{1}{t}②}\end{array}\right.(t为参数)\)，
分析：给①式平方得到，\(x^2=t^2+\cfrac{1}{t^2}-2③\)，
给②式平方得到，\(y^2=t^2+\cfrac{1}{t^2}+2④\)，
\(④-③\)，得到\(y^2-x^2=4\)，消参完成，
本题使用了平方消参法和加减消参法。
注意事项
- 参数方程消参以后需要特别注意的是，消参前后的表达式要等价，这一点常常与我们学习的函数的值域有关。举例如下：
分析：用带入法消掉参数\(t\)，得到其普通方程为\(x=3(y+1)+2\)，即\(x-3y-5=0\)。这是直线。
但是，参数\(t\)有范围，故\(x\)和\(y\)都应该有范围。
比如，\(x=3t^2+2\in [2，77]\)，由于\(y=\cfrac{x-5}{3}\)是单调函数，故不需要再限制\(y\)的范围，
即表示的曲线为\(x-3y-5=0(2\leqslant x\leqslant 77)\)，即为一条线段。
分析：由题目可知，\(\rho^2(cos^2\theta-sin^2\theta)=4\)，
即\(x^2-y^2=4\)，即\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{4}=1\)，等轴双曲线，有左右两支；
但是题目要求\(\cfrac{3\pi}{4}<\theta<\cfrac{5\pi}{4}\)，则符合题目的只有双曲线的左支，
故其普通方程为\(x^2-y^2=4(x\leq -2)\)
说明：极坐标方程也存在等价问题。
分析：两式相乘，消去参数\(k\)，得到\(y^2=x^2-4\)，即\(x^2-y^2=4\)，
那么转化前后，是否等价，该考虑什么？其实只需要考虑其上的特殊点。
\(x^2-y^2=4\)是焦点在\(x\)轴的等轴双曲线，顶点是\((\pm2，0)\)，
若\(y=0\)，则\(x=2\)且\(x=-2\)，这不可能。故\(y\neq 0\)，
故所求的普通方程为\(x^2-y^2=4(y\neq 0)\)
例题赏析
分析：由于\(k^2+\cfrac{1}{k^2}=(k-\cfrac{1}{k})^2-2\)，利用此公式消参，得到
\(\cfrac{x}{p}=(\cfrac{y}{p})^2+2\)，即\(y^2=px-2p^2\)，
即中点\(P\)的轨迹方程为\(y^2=px-2p^2\)。
(2)、求线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的方程。
分析【法1】：设直线\(AB\)的方程为\(y=kx\)，点\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)
与圆\(C_1\)联立，消\(y\)得到，\((1+k^2)x^2-6x+5=0\)，
由\(\Delta =(-6)^2-4\times 5(1+k^2)>0\)，可得\(k^2<\cfrac{4}{5}\)，
由韦达定理可得，\(x_1+x_2=\cfrac{6}{1+k^2}\)，
则线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{3}{1+k^2}①}\\{y=\cfrac{3k}{1+k^2}②}\end{array}\right.\)，其中\(-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}<k<\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，
如何消参数呢？两式相比，得到\(y=kx\)，即\(k=\cfrac{y}{x}\)，
代入①变形整理后得到，\((x-\cfrac{3}{2})^2+y^2=\cfrac{9}{4}\)，
又由于\(k^2<\cfrac{4}{5}\)，得到\(\cfrac{5}{3}<x\leq 3\)，
故线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的方程为\((x-\cfrac{3}{2})^2+y^2=\cfrac{9}{4}\)，其中\(\cfrac{5}{3}<x\leq 3\)。
分析：两式相除，得到\(y=tx\)，即\(t=\frac{y}{x}\)，代入①式，
得到\(x(1+\frac{y^2}{x^2})=3\)，两边乘以\(x\)得到\(x^2(1+\frac{y^2}{x^2})=3x\)，
即\(x^2+y^2=3x\),\((\frac{5}{3}<x\leqslant 3)\)
分析：给①式平方得到，\(x^2=\cfrac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}=\cfrac{t^4-2t^2+1}{t^4+2t^2+1}③\)，
给②式平方得到，\(y^2=\cfrac{(4t)^2}{(1+t^2)^2}=\cfrac{16t^2}{t^4+2t^2+1}④\)，
为消掉参数，需要给④式两边同除以\(4\)得到，\(\cfrac{y^2}{4}=\cfrac{4t^2}{t^4+2t^2+1}⑤\)，
③+⑤得到，\(x^2+\cfrac{y^2}{4}=\cfrac{t^4+2t^2+1}{t^4+2t^2+1}=1\).
故所求的普通方法为\(x^2+\cfrac{y^2}{4}=1\).
解后反思：平方后，调整系数再相加，利用分式的和为常数，可以消掉参数；
法1：利用平方法+和差法，\(①^2+②^2\)得到，\(x^2+y^2=2\)；即其普通方程为\(x^2+y^2=2\)；
法2：利用\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)消参，由已知方程反解得到，
\(sin\theta=\cfrac{x+y}{2}\)，\(cos\theta=\cfrac{x-y}{2}\)，
两式平方得到，\((\cfrac{x+y}{2})^2+(\cfrac{x-y}{2})^2=1\)，
整理得到，\(x^2+y^2=2\)。
解后反思：消参的途径可能不唯一；
分析：给①式的两边平方得到，\(x^2=a^2+1+\cfrac{1}{4a^2}③\)；
给②式的两边平方得到，\(y^2=a^2-1+\cfrac{1}{4a^2}④\)；
两式相减，③-④得到，\(x^2-y^2=2\)；
难点题目
(1)若\(t\)为常数，\(\theta\)为参数，判断方程表示什么曲线？
分析：观察参数\(\theta\)所处的位置和方程结构特征，我们可以考虑平方消参法。
由于已知\(\left\{\begin{array}{l}{x=(t+\cfrac{1}{t})sin\theta①}\\{y=(t-\cfrac{1}{t})cos\theta②}\end{array}\right.\)，故分类讨论如下：
\(1^{\circ}\)、当\(t\neq \pm1\)时，由①得到\(sin\theta=\cfrac{x}{t+\frac{1}{t}}\)，由②得到\(cos\theta=\cfrac{y}{t-\frac{1}{t}}\)，
平方相加得，\(\cfrac{x^2}{(t+\frac{1}{t})^2}+\cfrac{y^2}{(t-\frac{1}{t})^2}=1\)，
其表示的是中心在原点， 长轴长为\(2|t+\cfrac{1}{t}|\)，短轴长为\(2|t-\cfrac{1}{t}|\)，焦点在\(x\)轴上的椭圆；
\(2^{\circ}\)、当\(t= \pm1\)时，此时\(y=0\)，\(x=\pm 2sin\theta\)，则\(x\in [-2，2]\)，
其表示的是以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)为端点的线段；
综上可知，
当\(t\neq \pm1\)时，原方程表示焦点在\(x\)轴的椭圆；
当\(t=\pm 1\)时，原方程表示以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)为端点的线段；
(2)若\(\theta\)为常数，\(t\)为参数，方程表示什么曲线？
分析：观察参数\(t\)所处的位置和方程结构特征，我们可以考虑平方消参法。
由于已知\(\left\{\begin{array}{l}{x=(t+\cfrac{1}{t})sin\theta①}\\{y=(t-\cfrac{1}{t})cos\theta②}\end{array}\right.\)，故分类讨论如下：
\(1^{\circ}\)、当\(\theta\neq \cfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)时，由①得到\(\cfrac{x}{sin\theta}=t+\cfrac{1}{t}\)，
由②得到\(\cfrac{y}{cos\theta}=t-\cfrac{1}{t}\)，平方相减得到，
\(\cfrac{x^2}{sin^2\theta}-\cfrac{y^2}{cos^2\theta}=4\)，即\(\cfrac{x^2}{4sin^2\theta}-\cfrac{y^2}{4cos^2\theta}=1\)，
其表示的是中心在原点，实轴长为\(4|sin\theta|\)，虚轴长为\(4|cos\theta|\)，焦点在\(x\)轴上的双曲线；
\(2^{\circ}\)、当\(\theta=k\pi(k\in Z)\)时，\(x=0\)，它表示\(y\)轴；
\(3^{\circ}\)、当\(\theta=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)时，\(y=0\)，\(x=\pm(t+\cfrac{1}{t})\)，
当\(t>0\)时，\(x=t+\cfrac{1}{t}\ge 2\)，当\(t<0\)时，\(x=-(t+\cfrac{1}{t})\leq 2\)，
则\(|x|\ge 2\)，方程\(y=0(|x|\ge 2)\)表示\(x\)轴上以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)为端点的向左、向右的两条射线；
综上可知，
当\(\theta\neq \cfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)，方程表示焦点在\(x\)轴上的双曲线；
当\(\theta=k\pi(k\in Z)\)时，\(x=0\)，它表示\(y\)轴；
当\(\theta=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)时，方程表示\(x\)轴上以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)为端点的向左、向右的两条射线；
由于\(k\neq 0\)，当\(y=0\)时，需要\(x=2\)且\(x=-2\)，这是不可能的，故\(y\neq 0\)。 ↩︎