曲率
曲率 是衡量彎曲的程度。
曲率的直觀感受
方便引入曲率的概念，先從兩個特殊的例子來直觀上感受曲率
直線
對直線來說，沒有彎曲的地方，顯然曲率到處都是0。
圓
對圓來說，任何地方的曲率都是相同的，所以圓的曲率是個常數。直觀上來看，半徑大的圓比半徑小的圓更"平直"一些，那么大圓的曲率相比來說就要小一些。
怎么量化圓的曲率呢？
假設圓的半徑為R，弧長為$$2 \pi R$$，那么曲率=$$\frac{2 \pi}{2 \pi R} = \frac{1}{R}$$ 。
一般化推導
對圓的局部而言，圓的彎曲程度 可以用 切線斜角的變化 與 弧長變化 之商 來表示。
舉個例子，
如上圖所示，從P點到Q點，切線角的變化量為$$\angle POQ$$，弧長的變化為$$\widehat{PQ}$$，所以曲率=$$\frac{\angle POQ}{\widehat{PQ}}=\frac{\theta}{\theta*R}=\frac{1}{R}$$。
對一般曲線而言，
如上圖所示，曲線從P點到Q點，切線角的變化量為$$\theta$$，將其除以弧長的變化量$$\widehat{PQ}$$，然后讓Q逼近P點，
極限值 = $$\lim_{Q \to P} \frac{\theta}{\widehat{PQ}}$$，即可得到曲線在P點的曲率。
從這個推到也可以看出，直線的曲率為0，圓的曲率為其半徑的倒數。
最后，來兩張比較好的圖
