幾種基本級數
\(\bigstar\)幾何級數
\(\sum_{i=0}^n a*q^i\) a!=0 q叫做公比
注意這里i一定可以從1...開始|只是最后a變成a*q^i
- |q|=1 時 原式=a*n 發散
- |q|<1 時 原式=\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a}{q-1}-\frac{q^n}{q-1}=\frac{a}{q-1}\)收斂
- |q|>1時 原式極限不為零，發散
\(\bigstar\) 調和級數 \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\)
調和級數是發散的不用多講
\(\bigstar\) 不知道叫什么..\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a}\)
-
當 q<=1 時 發散
-
q>1 時收斂
這個證明可以根據比較審斂法和后面的冪級數和的性質證明
級數基本運算性質
- 收斂*k仍收斂
- 收斂+收斂=收斂 收斂+發散=發散 但是發散+發散不確定
- 若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n=s \sum_{n=1}^{\infty} v_n=\sigma\quad則 \sum_{n=1}^{\infty} u_n+v_n=s+\sigma $
- 收斂級數加若干括號仍收斂，但是反之不成立(加括號收斂推不出原級數收斂)
普通級數的各種定理
常數項級數收斂的條件
-
充要條件
\(令s_n=\sum_{n=1}^{\infty}u_n\\ \lim_{n\rightarrow\infty}s_n=s \leftrightarrow s_n收斂\leftrightarrow常數項級數收斂\)
-
必要條件
\(\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0\)
正向級數的審斂定理
比較審斂法
若 \(u_n<v_n 若級數v_n 收斂則u_n收斂 若u_n發散則v_n發散\)
\(\bigstar\) 通常用比較審斂法的極限形式
-
$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{u_n}{v_n}=l $
當\(0\le l <\infty\)時 若v_n收斂則u_n收斂
當\(0<l<=\infty\)時 v_n發散則u_n發散
等價無窮小級數可以等價應該也是根據這個定理來的
若 \(u_n \Leftrightarrow v_n \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{u_n}{v_n}=1所以同時滿足上面兩個條件，所有有相同的斂散性\)
比值審斂法
\(\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\)
若\(\rho=1\) 則此方法不能用
若\(\rho<1\) 則u_n 級數收斂
若\(\rho>1\) 則級數發散
根值審斂法
簡單來說就是開根號
\(\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]u_n=\rho\)
結論同上
極限審斂法
就是比值審斂法+冪級數的斂散性判定而已
交錯級數審斂定理
形如\(\lim_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n}*u_n\)為交錯級數
萊布尼茲定理
-
數列u_n單減
-
極限為0
則收斂
絕對收斂和條件收斂
通常判定方法
若|u_n| 收斂則u_n必定收斂
若 u_n收斂而|u_n|不收斂則稱u_n條件收斂
通常結合交錯級數來出題大概
冪級數
形如\(\sum_{n=0}^{\infty} a*(x-x_0)^n\)叫冪級數
一般\(x_0=0\)
阿貝爾定理|推論
若冪級數不僅不在0這收斂但也不是在整個數軸上收斂則必有一個確定的x=R存在
- 當|x|<R 冪級數絕對收斂
- 當|x|>R 冪級數發散
- |x|=R 散斂性不確定
R叫做收斂半徑，開區間（-R,R）為收斂區間
收斂域則是要先判斷x=+-R時是否收斂然后再並上開區間
重要定理
若\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n*x^n\)的系數滿足\(\lim_{n\rightarrow\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho\)
- \(\rho!=0\quad R=\frac{1}{\rho}\)
- \(\rho=0\quad R=\infty\)
- $ \rho=\infty R=0$
這個是根據比值定理來證的，所以比值審斂法才是這個定理的核心
如果x_0!=0最后比值留下的可能是k(x-x_0) 但是R=1/k;（可視為t=x-x_0 換元了）
但是收斂區間還是x元的區間
如果是更復雜的換元，比如t=(x-1)^2/2 若|t|<Y 則需 ==> |x-1|<R 這個R才是收斂域
和函數
如果傅里葉展開的和函數感覺就是fx
\(s(x)=\sum_{n\rightarrow\infty} a_n*x^n\) 則s(x)為冪級數的和函數|這里x是自己定的，題目可能就是一個常數
和函數在收斂區間可導，且都具有相同的收斂半徑（收斂域不一定相同）<==> 和函數在收斂區間內有任意階導數
通常結合積分來使用
求和函數一定要先求出收斂區間
幾種函數的冪級數展開
\(e^x=\sum_{n=0}^{n=\infty} \frac{x^n}{n!}\quad -\infty<x<+\infty\)
\(sinx=\sum_{k=0}^{k=\infty} (-1)^k*\frac{x^(2*k+1)}{(2*k+1)!}\quad -\infty<x<+\infty\)
\(cosx=(sinx)' \quad -\infty<x<+\infty\)
\(\frac{1}{x+1}=\sum_{n=0}^{n=\infty} (-1)^n*x^n \quad -1<x<1\)
\(ln(x+1)=\int\frac{1}{x+1} \quad -1<x<=1\)
關鍵的其實是收斂域
通常有階乘都是往e^x上面靠
有n次冪都是往 1/1+x 上面靠，
如果都有，優先e^x
傅里葉級數
直接上任意周期的吧，畢竟2*\(\pi\)一般周期的特殊情況
若周期為2l的周期函數f(x)這里fx是關於y軸對稱的滿足收斂定理的條件，他的傅里葉展開形式為
\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n*cos\frac{n\pi x}{l}+b_n*sin\frac{n\pi x}{l} \quad x\in c\)
$a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)*cosxdx $
\(b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)sinxdx\)
-
\(f(x)為奇函數時\)
\(a_n=0,b_n=\frac{2}{l}\int_{-l}^{l}f(x)*sinxdx\)
-
\(f(x)為偶函數時\)
\(a_n=\frac{2}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cosxdx,b_n=0\)
若f(x)不是周期函數，可以先進行奇偶延拓，再進行周期延拓，得到一個周期函數，然后再展開
但是注意一定要寫上x的范圍