圓周率 π 展開 為 無窮級數 其實 很簡單， 如圖 ：
可以用 黃色小三角形 和 橙色小三角形， 以及 依此類推 下去 的 無數個 小三角形 來 逼近 圓面積， 把 這個 無限逼近 的 圓面積 稱為 S，
因為 圓面積 = π r ² ， 所以， 有 S = π r ² ， π = S / r ² 。
即 用 無限逼近 的 圓面積 S 除以 r ² 就是 π ， 因為 S 是 無窮級數， 所以， S / r ² 就是 π 的 無窮級數 。
將 黃色 小三角形 稱為 第 1 層 小三角形， 橙色 小三角形 稱為 第 2 層 小三角形 ， 以此類推， 有 第 3 層 、 第 4 層 …… 第 n 層 小三角形， n -> 無窮 。
取 扇形 OAB 的 面積， 記為 S_扇OAB ， 設 圓 O 半徑 為 r， 面積 為 S， 則 S_扇OAB = 1/4 * S = 1/4 * π r ² 。
則 π = 4 * S_扇OAB / r ² 。
所以， 只要 求出 S_扇OAB 的 無窮級數 ， 就可以 得到 π 的 無窮級數 。
S_扇OAB = S△OAB + S△1 + 2 * S△2 + 4 * S△3 + …… + 2^(n - 1) * S△n ， n -> 無窮
S△OAB 是 三角形 OAB 的 面積， S△1 是 第 1 層 小三角形 的 面積， S△2 是 第 1 層 小三角形 的 面積， S△n 是 第 n 層 小三角形 的 面積，
第 1 層 小三角形 有 1 個， 第 2 層 小三角形 有 2 個， 第 3 層 小三角形 有 4 個， 第 n 層 小三角形 有 2^(n - 1) 個 。
可以看到， 小三角形 都是 等腰三角形， 第 1 層 小三角形 的 底邊 = AB ， 第 2 層 小三角形 的 底邊 是 第 1 層 小三角形 的 腰， 以此類推 ， 第 n 層 小三角形 的 底邊 是 第 n - 1 層 小三角形 的 腰 。
設 第 n 層 小三角形 的 底 為 an ， 腰 為 bn ， 高為 hn ， 為了 敘述方便， 設 m = n - 1， 則 第 n - 1 層 的 小三角形 的 底 為 am ， 腰 為 bm， 高 為 hm， 根據 勾股定理 ：
an = bm = [ ( 1/2 * am ) ² + hm ² ] 開方
hm = r - [ r ² - ( 1/2 * am ) ² ] 開方
a1 = ( r ² + r ² ) 開方 = 根號 2 * r
於是，
S_扇OAB = S△OAB + S△1 + 2 * S△2 + 4 * S△3 + …… + 2^(n - 1) * S△n ， n -> 無窮
= 1/2 r ² + 1/2 a1 h1 + 2 * 1/2 a2 h2 + 4 * 1/2 a3 h3 + …… + 2^(n - 1) * 1/2 an hn ， n -> 無窮
π = 4 * S_扇OAB / r ²
= 4 * [ 1/2 r ² + 1/2 a1 h1 + 2 * 1/2 a2 h2 + 4 * 1/2 a3 h3 + …… + 2^(n - 1) * 1/2 an hn ] / r ²
= [ 2 r ² + 2 a1 h1 + 4 * a2 h2 + 8 * a3 h3 + …… + 2^n an hn ] / r ² ， n -> 無窮
可以 令 r = 1， 則
π = 2 + 2 a1 h1 + 4 a2 h2 + 8 a3 h3 + …… + 2^n an hn ， n -> 無窮
a1 = 根號 2
這就是 π 的 無窮級數 。
應該指出， 這個 級數 的 每一項 都會有 開方 ， 開方 會 產生 無理數， 無理數 是 無限不循環小數， 實際計算 中 只 取 有限 的 位數 會 產生 誤差， 而 每一項 又 根據 前面 的 項 計算 而來， 這個 誤差 也會 積累 下來 。
我用 Html5 + javascript 寫了一個 程序， 來 計算 上面給出 的 無窮級數， 項目地址 ： https://github.com/kelin-xycs/PiSeries 。
計算結果 是 當 n = 20 時， π = 3.14159265358862 。 呵呵呵呵 。
javascript 的 浮點數 是 雙精度 浮點數， 有效數字 大約 是 15 位 數字， 所以 結果 也是 15 位 數字 的 ， 但 理論上， 根本 的 誤差 因素 是 上面說的 每一項 開方 產生 無理數 。