無窮級數就像高中的數列一樣，但是卻要我們鑽研的方向不同，高中叫我們求收斂於什么，大學里讓我們研究收斂性。
假設Sn的趨於無窮的極限存在則稱Sn收斂，不存在則叫做發散，收斂時Sn+1-Sn 叫做余和，余和為0。
這里舉出一些常用的級數收斂條件：
等比級數：
{當q>=1時級數發散，當0<q<1時級數收斂}
p級數：
和等比級數恰恰【相反】{當p>1時級數收斂，p<1時級數發散}
調和級數：
從形式上就可以看出這是p級數的特殊形式，那么理所當然這里就是發散的
這三個級數是比較基本的級數，在判斷一些復雜級數的斂散性時要借助這三個級數來輔助判斷
接下來說一些級數的基本性質：
- 線性：
- （個人稱之為穩定性~~~）
- （個人稱之為可拆性~~~）
這雖然時基本性質，但再特殊的性質也是從基礎出發的，所以要記牢這三個性質！！！
接下來談談級數收斂的必要條件（終於講怎么證明了~，注意這里是必要不是充要！！）
這里的關系可以這么理解，級數的和要是收斂的話，假設就等於一個固定有限的值，這個值要給無窮多的數分，就像讓全世界飢渴的跳蚤去吸食一只干瘦的牛犢一樣，每只跳蚤吸到的血幾乎為0；
現在換個角度看，就是從跳蚤的角度看，每只跳蚤單獨吸到的血都趨於0，但是這些跳蚤在一起吸食時（一起合作）在吸食到一定程度時中變異了，仿佛有了替身能力一般，跳蚤們可以將牛血反復復制，從而造出無窮無盡的牛血。這便是即使
每一項的極限為0，但是一起行動時引起了質變，導致了無窮級數的和的發散；
那么假如是螞蝗而且吸得是醫院的血庫，那螞蝗一邊在吸，醫院一邊又在供給，就像服務員給乘客遞上葡萄酒和魚子醬那樣的給螞蝗供血，可想而知螞蝗吸得血將會是無窮大！！！！
正項級數，也是研究的比較多的級數，我直接放定義先了
這個很明顯就是縮小了討論范圍了，現在只討論正數了，但是這就像是和蟬一起埋在地底的樹根一樣，越分支越多，接下來要學的只會更多。
下面開始研究正項級數斂散性的判別法
第一種是比較判別法：
這種判別法顯而易見，就是上面那個跳蚤和螞蝗的例子vn就是螞蝗，un則是跳蚤，要是連螞蝗vn不能像誇父喝干黃河水一樣得喝干牛犢的血的話，因為跳蚤 比螞蝗小
，那么跳蚤un也不能喝完牛犢身上的血
；相反要是連跳蚤都可以喝完的話，那么螞蝗也一定可以喝完牛犢的血
換一種極限的形式來看：
第二種判別法是比值判別法：
P.S. 這里要注意公式里的內容，比較判別法里面的極限形式和這個很像，但是比值判別法是前一項和后一項的對比，換句話說，正項級數要是項遞減的話就是收斂的，遞增的話就是發散的。好比《JOJO石之海》里的綠色嬰兒，你在靠近綠色嬰兒的過程中自己一直在減小一半，這樣的話你永遠也達不到綠色嬰兒，只能無限接近。
第三種判別法是根值判別法：
這和比值判別法更進一步，從比較判別法到根值判別法，參與比價的項越來越小，比較判別法需要自己和別人比，比值判別法需要自己和自己兄弟比，而根值則像一個成天看初音未來的宅男一樣窩在家里有一套自己的標准，自己給自己做決定。
例題：
接下來說的是積分判別法，用的貌似不多，多學一種總是好的嘛： 
例題：
終於來到任意項了，這里又要多討論一種級數了
交錯級數：
這里用到了新的判別法：萊布尼茲判別法
簡單來說就是把所有項都取絕對值后，要是呈現出遞減趨勢的話，那么交錯級數就是收斂的（當然不能忘了通項趨於0這個必要條件）
例題：
第二個知識點是絕對收斂和條件收斂
絕對收斂就像是掉進糞池的鑽石一樣，絕對值就是糞池，級數本身是鑽石，鑽石掉進糞池（加上絕對值）依然具有價值（級數依然收斂）；
條件收斂卻像空姐小推車里的新鮮魚子醬一樣，本身具有價值（收斂），但是掉進糞池（加上絕對值），就失去了價值（級數發散）。
例題：
函數項級數是接下來冪級數的基本概念，所以對函數項級數要有正確的認識
這是無窮級數里很重要的內容
首先是個很重要的定理：abel定理
這個x0感覺就像是替身的射程距離，在這個距離內我絕對能夠歐拉你，超出這個距離，我就歐拉不到你了。
推論：
接下來理所當然要學的是收斂半徑的求法
對於這個形式的級數
可以用y0=x-x0代替，轉化成abel定理的形式
例題：
提示：一些題目像第四題可以直接用比值判別法得到ρ，然后用ρ和1比大小求出x的取值范圍，再在端點處特殊處理
這是另外一方法，擇優做題
接下來講一些冪級數的分析性質：
泰勒級數：
函數要等於它的泰勒級數的充分必要條件是余項等於0
常用的泰勒級數要記牢，做題會經常用到
由於冪級數收斂於一個值速度太慢，在工程上人們常用傅里葉級數來進行近似，它收斂的速度很快
三角級數：三角函數任意兩個具有正交性
