三、行列式的逆序數法定義（行列式的第二種定義）
1. 排列和逆序
由n個數1,2,3，...n組成的一個有序數組成為一個n級排列，如2,3，1,4,5是一個5級排列，1,2,3,4,5也是一個5級排列，n級排列共有n！個，如，5級排列共有5！=120個。
逆序： 在一個n級排列i1,i2,i3,...is,...it,...in中，is>it ,且is 排在前面，則這兩個數構成一個逆序。
比如6級排列：6 2 1 5 3 4 ，
6 2，6 1， 6 5 ，6 3 ， 6,4構成了5對逆序。只要前大后小，就構成一對逆序。
2 1 構成了1對逆序 1 5， 1 3， 1 4都是順序，不是逆序。
注：
- 逆序和順序的概念都是針對兩個自然數而言的。
- 逆序：前大后小。
- 順序：前小后大。
5 3 ， 5 4 構成了2對逆序
逆序數：給定一個排列，逆序的總數稱為逆序數，記作τ，如τ(6 2 1 5 3 4)=5+1+2=8, 即排列6 2 1 5 3 4的逆序數是8. 由小到大的排列稱為自然排序，如1 2 3 4 5 ，顯然，自然排序的逆序數是0，因為都是前小后大。
奇排列和偶排列： τ是一個排列的逆序數，τ為奇數的排列稱為奇排列，τ為偶數的排列稱為偶排列。τ(6 2 1 5 3 4)=8，所以排列6 2 1 5 3 4是偶排列。
2. n階行列式的定義
n階行列式（以5階為例）：
1,2,3,4,5是行下標（已順排）。
j1,j2,j3,j4,j5是列下標。
表示對所有n(5)個列下標排列求和，故為n!(5!)項之和，注意到行下標已經順序排列，而列下標是5級排列中的任意一個排列，所以每項由不同行、不同列的n個(5個)元素乘積組成，每項的正負號取決於(-1)τ(j1,j2,j3,j4,j5) ,當列下標為奇排列時，為負號，為偶排列時，取正號。
舉例：
確定5階行列式展開后某一項a12a31a54a43a25的符號。
解答：
a. 含有5個元素，所以行列式必定是5階行列式，展開后總共應該是120項。
b. 把行下標進行順序排列：a12a25a31a43a54
c. τ(2 5 1 3 4)=4
所以，符號是正號。
2階行列式的逆序數法定義(總共有2!=2項)：
3階行列式的逆序數法定義(總共有3!=6項)：
行列式表白：
四、行列式的展開定理（行列式的第三種定義，本質：降階）
注：行列式的第一種定義是柯西給出的面積定義(柯西給出的行列式的測度定義)，即具有幾何意義的定義。
階數超過3階的行列式，若還用“一”、“三”的方法，就太麻煩了(如5階行列式有120項)，所以，提出行列式的展開定理。
1.余子式
在n 階行列式中，去掉元素aij所在的第i行，第j列元素，剩下的元素按原來的位置組成的n-1階行列式稱為元素aij的余子式，記作Mij,舉例：
2.代數余子式
余子式乘以(-1)i+j后稱為元素aij的代數余子式。記作：Aij
Aij=(-1)i+jMij
顯然也有：
Mij=(-1)i+jAij
所以，余子式和代數余子式之間只差一個符號。
注意，余子式首先是行列式，其次是一個數，代數余子式是一個數。
余子式和代數余子式都是一個數。
舉例：
3.行列式按某一行（列）展開：
行列式的值等於行列式的某行（列）的元素分別乘以其相應的代數余子式后再求和。即
行列式按行展開的本質是降階：把一個n(3)階寫成n(3)個n-1(2)階。
如果某一行的元素有很多是0，就相當於項數減少很多。
但：行列式的某行（列）元素分別乘以另一行（列）元素的代數余子式后再求和，結果是0.
五、幾個重要的行列式
1.主對角線行列式（右上（左下）三角行列式）
（按行列式的第二種定義計算）
2.副對角線行列式
（按行列式的第二種定義計算）
3.拉普拉斯展開式
A為m階矩陣，B為n階矩陣，O為0矩陣，則：
為何要加個-1的m*n次方？因為下面的副對角線行列式轉換成上面的主對角線行列式交換行的次數是m*n次。
4. n階范德蒙德行列式
可以用數學歸納法證明這個結果。
例如：3階方德蒙德行列式：
有1、2、3年級的學生，高年級要欺負所有低年級，所以結果是：
（x3-x2）（x3-x1）（x2-x1）