使用線性代數可以更好理解圖相關知識。圖由頂點與邊組成，以下有向圖可以使用關聯矩陣表示：
矩陣 A 每行表示一條有向邊，每列表示一個頂點信息。該圖可以表示一個無源電路系統，通過考察矩陣 A 的四個基本子空間，可以有效理解該電路系統。
矩陣 A 的零空間
通過求解 
，其解 x 位於矩陣的零空間。展開方程得如下關系：
，
。
通過以上關系，可知 
位於矩陣 A 的零空間中，同時以上方程組無法推導出更多的關系，故 
是矩陣 A 零空間的唯一基，也即矩陣 A 的秩為 3。
方程 
可展開為：
，表示個節點直接的電勢差。
由於 
位於零空間，其解為 
。
矩陣 A 的列空間
通過以上分析，矩陣 A 的秩為 3，根據 Kirchhoff"s Voltage Law，回路1 與 回路2 上的電勢差為0，可建立如下關系：
，該關系表示矩陣 A 列空間，向量 b 包含 5 個變量，但有兩個相關等式，滿足矩陣 A 的列空間的維數為 3。
以上關系表示有向圖上符合條件的電勢差必須滿足等式 
。
矩陣 A 的左零空間
通過求解 
，其解 y 位於矩陣的左零空間，
表示各條邊上的電流，
，展開方程組得：
，其中，每一個等式表示經過結點的電流為零，故矩陣的左零空間描述了 Kirchhoff"s Current Law。
通過求解以上方程組，可以得到矩陣 A 的左零空間，但可以根據矩陣 A 的列空間推導出矩陣 A 的左零空間，具體如下：
1）左零空間 垂直於 列空間；
2）列空間的維數為 3，矩陣列數為 5，則左零空間的維數為 5 - 3 = 2；
3）矩陣的列空間滿足 
；
4）關系 3）可改寫為 
，由於 
位於列空間，
則 
與 
位於矩陣的左零空間，並構成左零空間的一組基。
矩陣 A 的行空間
由於矩陣的行空間與矩陣的零空間正交，且已知矩陣 A 的零空間為 
，則矩陣 A 的行空間的維數為 3，並滿足關系
。
以上關系可以使用矩陣表達式簡明表達：
1）各節點電勢差為 
；
2）根據電勢差可求得電流 
，C 為常數；
3）流入與流出各個節點電流和為零 
；
4）整理可得 
；
5）當外接電流源時，可表示為 
；
通過各個子空間的維度關系，可以推導圖的一個重要的公式：歐拉公式，具體如下：
#loops = #edges - (columns - 1)
#loops = #edges - (#nodes - 1)
#edges - #nodes + #loops = 1
參考資料 Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang