和差化積公式

公式一 $$\sin a +\sin b$$

一個簡單的結論

\[\sin(A+B)+sin(A-B) \]

\[= 2\sin A \cos B \]

通過展開我們可以很容易的得到這個結論,利用這個結論可以推出下面的公式

\[\sin a +\sin b \]

\[= \sin(\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2})+\sin(\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}) \]

\[=2\sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \]

如何區分正負號?

\[2\sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \]

\(\frac{a+b}{2}\)和\(\frac{a-b}{2}\) 容易混淆,如何和\(\sin\)和\(\cos\)匹配是需要關注的問題.

注意到在交換\(a\)和\(b\)后$$\sin a +\cos b$$不變,$$2\sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} $$也應不變,
若

\[2\sin \frac{a-b}{2} \cos \frac{a+b}{2} \]

則在交換\(a\)和\(b\)后符號會發生變化

所以\(\frac{a+b}{2}\)和\(\frac{a-b}{2}\) 分別和\(\sin\)和\(\cos\)匹配

公式二 $$\sin a -\sin b$$

\[\sin a -\sin b \]

只需將上面公式中的\(b\)替換為\(-b\)即可,

\[2\sin \frac{a-b}{2} \cos \frac{a+b}{2} \]

公式三 $$\cos a +\cos b $$

\[= 2\cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \]

公式四 $$\cos a -\cos b $$

\[= -2\sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \]

積化和差公式

對於這種公式我們主要給出驗證的思路

公式一 $$2 \sin a \cos b$$

\[=\sin(a+b)+\sin(a-b) \]

從和差化積公式中我們可以看出展開的式子里函數名必須相同（sin和sin，cos和cos）

對於這個公式，難記的地方是\(sin(a-b)\)中\(a\)和\(b\)的位置關系.

注意到，\(2 \sin a \cos b\) 中 \(a\) 取\(-a\)時等式后面會變號,而 \(b\)取\(-b\)時不變號,由此可以驗證.

公式二 $$ 2 \cos a \sin b$$

\[=\sin(a+b)-\sin(a-b) \]

和公式一沒有任何區別,只是\(a\)和\(b\)的位子換了意思,但是展開式里的符號變成了減號(也是位置變換導致的).

這個公式主要突出這個減號的重要性,作差求和的時候可能會用到.

公式三 $$2 \cos a \cos b$$

\[=\cos(a+b)+\cos(a-b) \]

這個公式是最簡單的,很容易記住.

公式四 $$2 \sin a \sin b$$

\[=-(\cos(a+b)-\cos(a-b)) \]

\(a\)和\(b\)也是對稱的.