兩角和差正余弦公式的證明
北京四中數學組 皇甫力超
論文摘要：
本文對兩角和差的正余弦公式的推導進行了探討。 在單位圓的框架下 , 我們得到了和角余弦公式 ( 方法 1) 與差角余弦公式 ( 方法 2)。在三角形的框架下 , 我們得到了和角正弦公式 ( 方法 3 ~11 ) 與差角正弦公式 ( 方法 12,13)。
關鍵詞：
兩角和差的正余弦公式
正文：
兩角和差的正余弦公式是三角學中很重要的一組公式。 下面我們就它們的推導證明方法進行探討。
由角 
, 
的三角函數值表示 
的正弦或余弦值 , 這正是兩角和差的正余弦公式的功能。 換言之 , 要推導兩角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一個等式或方程 , 將 
或 
與 , 的三角函數聯系起來。
根據誘導公式 , 由角 
的三角函數可以得到 
的三角函數。 因此 , 由和角公式容易得到對應的差角公式 , 也可以由差角公式得到對應的和角公式。 又因為 
, 即原角的余弦等於其余角的正弦 , 據此 , 可以實現正弦公式和余弦公式的相互推導。 因此 , 只要解決這組公式中的一個 , 其余的公式將很容易得到。
(一) 在單位圓的框架下推導和差角余弦公式
注意到單位圓比較容易表示 , 和 , 而且角的終邊與單位圓的交點坐標可以用三角函數值表示 , 因此 , 我們可以用單位圓來構造聯系 與 , 的三角函數值的等式。
1. 和角余弦公式
(方法 1) 如圖所示, 在直角坐標系 
中作單位圓 
, 並作角 , 和 
, 使角 的始邊為 
, 交 
於點 A, 終邊交 於點 B；角 始邊為 
, 終邊交 於點 C；角 始邊為 , 終邊交 於點。從而點 A, B, C和 D的坐標分別為
, 
,
,
。
由兩點間距離公式得
；
。
注意到 
, 因此
。
注記：這是教材上給出的經典證法。它借助單位圓的框架 , 利用平面內兩點間距離公式表達兩條相等線段, 從而得到我們所要的等式。注意, 公式中的 和 為任意角。
2. 差角余弦公式
仍然在單位圓的框架下 , 用平面內兩點間距離公式和余弦定理表達同一線段, 也可以得到我們希望的三角等式。這就是
(方法2) 如圖所示, 在坐標系 中作單位圓 , 並作角 和 , 使角 和 的始邊均為 , 交 於點 C, 角 終邊交 於點 A,角 終邊交 於點。從而點 A, B的坐標為
,
。
由兩點間距離公式得
。
由余弦定理得
。
從而有。
注記：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依賴於 
是三角形的內角。 因此, 還需要補充討論角 和 的終邊共線, 以及 大於 
的情形。容易驗證 , 公式在以上情形中依然成立。
在上邊的證明中 , 用余弦定理計算 
的過程也可以用勾股定理來進行。
(二) 在三角形的框架下推導和差角正弦公式
除了在單位圓的框架下推導和差角的余弦公式 , 還可以在三角形中構造和角或差角來證明和差角的正弦公式。
1. 和角正弦公式 (一)
(方法3) 如圖所示, 
為 
的 
邊上的高 , 
為 
邊上的高。設 
, 
, 
, 則。從而有
, 
,
,
。
因此 
,
。
注意到 
,
從而有
,
整理可得
。
注記：在方法 3 中 , 用 和與底角 , 相關的三角函數, 從兩個角度來表示 邊上高 , 從而得到所希望的等式關系。 這一證明所用的圖形是基於鈍角三角形的 , 對基於直角或銳角三角形的情形 , 證明過程類似。
利用方法 3 中的圖形 , 我們用類似於恆等變形的方式 , 可以得到下面的
(方法 4) 如圖所示, 為 的 邊上的高 , 為 邊上的高。 設 , , 則
。
注意到 
, 則有
,即。
從而有 
。
利用正弦定理和射影定理 , 將得到下面這個非常簡潔的證法。 注意證明利用的圖形框架與方法 3,4 所用的圖形框架是相同的。
(方法 5) 如圖所示 , 
為 的 邊上的高。 設 , , 則有 
,。 由正弦定理可得
,
其中 d為 的外接圓直徑。
由 
得
,
從而有
。
2. 和角正弦公式 ( 二 )
方法 3,4 和 5 利用的圖形框架是將角 , 放在三角形的兩個底角上。 如果將這兩個角的和作為三角形的一個內角 , 將會有下面的幾種證法 ( 方法 6~11)。
(方法 6) 如圖所示 , 作 
於D, 交 外接圓於 E, 連 
和。 設
, 
, 則
, 
,
。
設 的外接圓直徑為 d, 則有, 
,
,
。
所以有
。
注意到 
, 從而。
(方法 7) 如圖所示 , 為 的 邊上的高 , 為 邊上的高。設 
, 
, 則
。 設 
, 則
, 
, 
,
, 
。
又
從而
。
整理可得 。
(方法 8) 如圖所示 , 作 
於D, 過 D作 
於 F, 
於G。 設 
,
, 則 
,設 
, 從而 
,
,
,
。
所以
。
注意到 
, 則有
。
注記：我們用兩種不同的方法計算 , 得到了和角的正弦公式。 如果我們用兩種方法來計算 
, 則可以得到和角的余弦公式。 由上圖可得
,
,
從而有
。注意到
, 從而可得。
方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函數從兩個角度表示圖形中的同一線段 , 從而構造出我們所希望的等式關系。
(方法 9 ) 如圖所示 , 設 為 的 邊上的高。 設 , ,, 
, 從而有
方法 9 利用面積關系構造三角恆等式。下面這兩個證法的思路則有所不同。
(方法 10) 如圖所示 , 設 為 的外接圓直徑d, 長度為d。 設 
, 
, 則 
, 從而
注記：這一證明用到了托勒密定理：若 和 是圓內接四邊形的對角線 , 則有
。
(方法 11) 如圖所示 , 為 的 邊上的高。 設 
, 
, 則。 設 
, 則
方法 10 和 11 將某一線段作為基本量 , 利用與角 , 相關的三角函數表示其它線段 , 再通過聯系這些線段的幾何定理 ( 托勒密定理或正弦定理 ), 構造出我們希望的等式關系。
3. 差角正弦公式
仍然還是在三角形中 , 我們可以在三角形的內角里構造出差角來。 方法 12 和 13 便是用這種想法來證明的。
(方法 12) 如圖所示 ,
。 設 
, 
, 記 
, 作 
於 E, 則 
, 
, 從而有
(方法 13) 如圖所示 , 為 的外接圓直徑 , 長度為 d。設 
, 
, 則 
, 
。 從而
方法 12 和 13 的基本思路仍然是用兩種不同方法計算同一線段 , 借此來構造等式關系。
很顯然 , 在這十二種證法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。 換言之 , 這兩種方法中出現的角 , 是任意角。 而其余方法中 , 角 和 則有一定的限制 , 它們都是三角形的內角 ( 甚至都是銳角 )。因此 , 對於方法 3~13, 我們需要將我們的結果推廣到角 和 是任意角的情形。 具體而言 , 我們要證明：如果公式對任意 
成立 , 則對任意角也成立。
容易驗證 , 角 和 中至少有一個是軸上角 ( 即終邊在坐標軸上的角 ), 我們的公式是成立的。 下面證明 , 角 和 都是象限角 ( 即終邊在坐標系的某一象限中的角 ) 時 , 我們的公式也成立。 不妨設 為第二象限角 , 為第三象限角 , 從而有
從而
同理可證, 公式對於象限角 和 的其它組合方式都成立。因此 , 我們可以將方法 3~13 推導的公式推廣到角 , 是任意角的情形。
兩角和差的正余弦公式是三角學中很基本的一組公式。 其推導證明對指導學生進行探究性學習很有幫助。 從上文中可以看到 , 這一探究過程可分為四個步驟：
(1) 明確推導證明的目標：構造聯系 和 三角函數與 或 的等式或方程 ；
(2) 簡化課題：四個公式只要解決一個 , 其余的都可由它推出 ；
(3) 解決問題：利用單位圓或三角形作為聯系 和 三角函數與 或 的工具 , 尋找我們希望的等式關系 ；
(4) 完善解決問題的方法：考察方法是否有普遍性。 如果普遍性有欠缺 , 可考慮將其化歸為已解決的情形 , 必要時還要進行分類討論。
參考文獻：
1.谷丹：全面數學教育觀與知識形成過程的教學——三個教學個案及分析 , 《開放的視野 , 務實的努力》, 中央民族大學出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 頁。
2.人民教育出版社中學數學室：全日制普通高級中學教科書 << 數學 ( 第一冊下 )>>( 必修 ), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 頁。