兩角和與差的三角函數

1. 概述
   1. 此章節主要是背公式，內容不多，但公式的應用很重要，需要熟記
   2. 本章雖然有許多公式，但核心是兩角的和差公式，其他的所有公式都是由和差公式變形產生的
2. 和差公式
   1. $\displaystyle sin(\alpha \pm \beta)=sin \alpha cos \beta \pm cos \alpha sin \beta$
   2. $\displaystyle cos(\alpha \pm \beta)=cos \alpha cos \beta \mp sin \alpha sin \beta$
      1. 已知：如圖，$\displaystyle \angle MOQ=\alpha , \angle POQ = \beta$
         求證：$\displaystyle OM=cos(\alpha - \beta)$

         1. 先將OM拆解成在帶有$\alpha$的三角形的邊
            $OM=ON+MN$

         2. 將$ON , MN$用$\alpha$表示
            $ON=OA \ast cos \alpha$
            $MN=AP \ast sin \alpha$

         3. 將$OA , AP$用$\beta$表示
            $OA=OP\ast cos \beta$
            $AP=OP\ast sin \beta$

         4. 歸並得
            $OM=ON+MN=OP cos \alpha cos \beta + OP sin \alpha sin \beta$

   3. $\displaystyle tan(\alpha \pm \beta)= \frac{ \tan \ \alpha \pm \tan \ \beta}{1 \mp \tan \ \alpha tan \ \beta}$

3. 衍生的公式

   1. 二倍角公式
      將相等的值代入和差公式即可

      1. $sin 2\alpha= 2sin \alpha cos \alpha$

      2. $cos 2\alpha= cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=2cos^2 \alpha-1=1-2sin^2\alpha$

      3. $\displaystyle tan 2\alpha=\frac{2 tan \alpha}{1-tan^2\alpha}$

   2. 有關公式的逆用和變形等

      1. $\displaystyle tan \alpha \pm tan \beta= tan(\alpha \pm \beta)(1 \mp tan \alpha tan \beta)$

      2. $\displaystyle cos^2\alpha=\frac{cos 2\alpha+1}{2}　　sin^2 \alpha=\frac{1-cos 2\alpha}{2}$

      3. $\displaystyle 1+sin 2a=(sin a+ cos a) 1-2sin 2a=(sin a-cos a)$

   3. 輔助角公式

      1. 函數$f(\alpha)= a sin \alpha+ b cos \alpha(a、b為常數)$,可以化為

         1. $\displaystyle f(\alpha)=sqrt{a^2+b^2}sin(\alpha+\varphi)(其中tan \varphi=\frac{b}{a}$

            1. $\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=cos \varphi \Rightarrow \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=sin \varphi$（$\sqrt{a^2+b^2}$是單位一）
            2. $\displaystyle f(\alpha)=a sin \alpha+b sin\alpha$
               $\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}(sin\alpha\ast\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+cos\alpha\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$
               $\displaystyle =\sqrt{a^2}$

         2. $\displaystyle f(\alpha)=\sqrt{a^2+b^2}cos(\alpha-\varphi)(其中tan \varphi=\frac{a}{b}$