和差化积公式

公式一 $$\sin a +\sin b$$

一个简单的结论

\[\sin(A+B)+sin(A-B) \]

\[= 2\sin A \cos B \]

通过展开我们可以很容易的得到这个结论,利用这个结论可以推出下面的公式

\[\sin a +\sin b \]

\[= \sin(\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2})+\sin(\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}) \]

\[=2\sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \]

如何区分正负号?

\[2\sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \]

\(\frac{a+b}{2}\)和\(\frac{a-b}{2}\) 容易混淆,如何和\(\sin\)和\(\cos\)匹配是需要关注的问题.

注意到在交换\(a\)和\(b\)后$$\sin a +\cos b$$不变,$$2\sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} $$也应不变,
若

\[2\sin \frac{a-b}{2} \cos \frac{a+b}{2} \]

则在交换\(a\)和\(b\)后符号会发生变化

所以\(\frac{a+b}{2}\)和\(\frac{a-b}{2}\) 分别和\(\sin\)和\(\cos\)匹配

公式二 $$\sin a -\sin b$$

\[\sin a -\sin b \]

只需将上面公式中的\(b\)替换为\(-b\)即可,

\[2\sin \frac{a-b}{2} \cos \frac{a+b}{2} \]

公式三 $$\cos a +\cos b $$

\[= 2\cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} \]

公式四 $$\cos a -\cos b $$

\[= -2\sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \]

积化和差公式

对于这种公式我们主要给出验证的思路

公式一 $$2 \sin a \cos b$$

\[=\sin(a+b)+\sin(a-b) \]

从和差化积公式中我们可以看出展开的式子里函数名必须相同（sin和sin，cos和cos）

对于这个公式，难记的地方是\(sin(a-b)\)中\(a\)和\(b\)的位置关系.

注意到，\(2 \sin a \cos b\) 中 \(a\) 取\(-a\)时等式后面会变号,而 \(b\)取\(-b\)时不变号,由此可以验证.

公式二 $$ 2 \cos a \sin b$$

\[=\sin(a+b)-\sin(a-b) \]

和公式一没有任何区别,只是\(a\)和\(b\)的位子换了意思,但是展开式里的符号变成了减号(也是位置变换导致的).

这个公式主要突出这个减号的重要性,作差求和的时候可能会用到.

公式三 $$2 \cos a \cos b$$

\[=\cos(a+b)+\cos(a-b) \]

这个公式是最简单的,很容易记住.

公式四 $$2 \sin a \sin b$$

\[=-(\cos(a+b)-\cos(a-b)) \]

\(a\)和\(b\)也是对称的.