積化和差與和差化積

本文轉載自查看原文 2021-11-10 09:34 1134

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一、求證： $\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)]$

證明：因為

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

將以上兩式的左右兩邊分別相加，得

sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α cos β

即

sin α cos β = 1 2 [sin (α + β) + sin (α - β)]

同理得到

cos α sin β = 1 2 [sin (α + β) - sin (α - β)]

cos α cos β = 1 2 [cos (α + β) + cos (α - β)]

sin α sin β = - 1 2 [cos (α + β) - cos (α - β)]

由於公式的左邊為積的形式，右邊為和或差的形式，故把上述四個公式稱為積化和差公式.

二、求證： $\sin θ + \sin φ = 2 \sin \frac{θ + φ}{2} \cos \frac{θ - φ}{2}$

證明：由上一題的證明有

sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin α cos β

設 $α + β = θ, α - β = φ$ .那么

α = θ + φ 2, β = θ - φ 2

把 $α, β$ 的值代入上式，即得

sin θ + sin φ = 2 sin θ + φ 2 cos θ - φ 2

同理得

sin θ - sin φ = 2 cos θ + φ 2 sin θ - φ 2

cos θ + cos φ = 2 cos θ + φ 2 cos θ - φ 2

cos θ - cos φ = - 2 sin θ + φ 2 sin θ - φ 2

我們把上述四個公式稱為和差化積公式.

例題

$1$

、已知 $\sin (α + β) = \frac{1}{2}, \sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，求 $\sin α \cos β$

解析： $\sin α \cos β = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)] = \frac{5}{12}$

$2$

、設 $A, B, C$ 是 $△ A B C$

的三個內角，求證：

sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 4 sin A sin B sin C

證明：

= = = = sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C 2 sin (A + B) cos (A - B) - 2 sin (A + B) cos (A + B) 2 sin (A + B) [cos (A - B) - cos (A + B)] 2 sin (A + B) 2 sin A sin B 4 sin A sin B sin C

練習

已知 $A + B + C = π$

，求證：

$(1) \sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$

$(2) \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$

2067843136

作者：農夫三拳
鏈接：https://www.zhihu.com/question/295940509/answer/2067843136
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個人是這么記得，先說口訣再解釋

積化和差：

異名相乘變正弦，正弦在前加號連。

同名相乘變余弦，正弦變余雙減連。

和差化積：

正弦加減變異名，相加則為正在前。

余弦加減變同名，相減變正負號連。

先說積化和差

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

兩者相加，得到

sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] ①

兩者相減，得到

cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)] ②

觀察得到的兩式，一個式子中都有cos和sin兩種三角，這樣定義為異名，因此得到口訣

異名相乘變正弦，正弦在前加號連。

那余弦在前減號連唄

注意，等號后面默認的是先(α+β)，再(α-β)。

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

兩式相加，得到

cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] ③

兩式相減，得到

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] ④

一點說明:本式應該寫成cos(α-β)-cos(α+β)好一些，但是因為要統一寫成先(α+β)，再(α-β)的形式，所以前面要提出一個負號。

觀察得到的兩式，都是一個式子中只有一種三角，這樣定義為同名，得到口訣

同名相乘變余弦，正弦變余雙減連。

其中，雙減表示的意思為一個負號，一個減號。

類比可以推出，余弦變余加號連。

所以積化和差的口訣總結為

異名相乘變正弦，正弦在前加號連。

同名相乘變余弦，正弦變余雙減連。

下面說和差化積，可由積化和差公式換元導出，

由①變一下字母得到

sinθcosδ=1/2[sin(θ+δ)+sin(θ-δ)]

令α=(θ+δ) ， β=(θ-δ)

則 θ=1/2(α+β)， δ=1/2(α-β)

所以上式變為

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]×cos[(α-β)/2]

由②變一下字母得到

cosθsinδ=1/2[sin(θ+δ)-sin(θ-δ)]

令α=(θ+δ) ， β=(θ-δ)

則 θ=1/2(α+β)， δ=1/2(α-β)

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2] ×sin[(α-β)/2]

逆用積化和差的口訣，改為

正弦加減變異名，相加則為正在前。

那相減則為余在前唄

注意，此時等號后面仍然是先(α+β)，后(α-β)，只不過是各自都要除以2

由③④變換后可得

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]×cos[(α-β)/2]

和

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]×sin[(α-β)/2]

逆用積化和差口訣，得到

余弦加減變同名，相減變正負號連。

這里應該注意一下斷句：相減變正，負號連。

如果是余弦減余弦，那么變為正弦，且前面有一個負號。

那么相加就是變余正號連了。

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