課程回顧
這是課程7、8、9的上課內容：
本節課內容：
- 幾何基礎
- 幾何實例
- 幾何的表示法
幾何應用舉例
通過幾個例子開啟本節課的總結，下面主要列舉4個例子：
- 下圖中是一些不同幾何形狀的杯子，會涉及如何設計出這些形狀；
- 下圖中的汽車引擎蓋是非常光滑的曲面，會涉及如何用計算機模擬出如此光滑的面；
- 下圖中形狀各異的齒輪，對於這些復雜的幾何構造如何表示；
- 下圖中是一個藍衣女子，會涉及如何表示薄紗不同厚度攤開與重疊時，不同的透明度表示問題；
下面將介紹幾何表示方法：
主要分為implicit（隱式） 和Explicit(顯式)兩大類方法，以下是方法概覽：
一、Implicit（隱式）表示法
通過告訴點關系，對點進行歸類，從而判斷幾何關系（是否在幾何表面等關系）。
- 優點：很容易判斷幾何關系（帶入隱式即可算出。）
- 缺點：但是很難從隱式關系式看出幾何形狀。
下面將介紹 5 種隱式表示方法：
隱式表示方法概覽：
（ 一 ）代數曲面法（Algebraic Surfaces）
這種方法，主要是很難從數學式子看出形狀，並且很難表示復雜的形狀。
（ 二 ）構造實體幾何法（Constructive Solid Geometry ）
這種方法通過使用簡單額幾何體進行Bool運算，就可構造出復雜的形狀。
（ 三 ）距離函數法（Distance Functions）
通過定義一個距離函數，表示兩個物體的距離關系。（不直接描述表面，而是描述一個點到表面的最近距離。），由此通過最小距離判斷出在幾何體的表面上、外、內關系（加入對應數值0、+、-）。
舉例：
想通過A、B得到移動融合運動邊界（假設划線為黑色，空白為白色），但是直接做出的結果\(blend(A,B)\)得出的顏色將會是黑、灰、白（AB重合區域、B-A區域、空白區域）。這並不是我們想要得到的黑白融合結果。
於是，使用有向距離函數（Signed-distance Function，簡稱SDF），通過\(-,0,+\)表示關系，再將\(SDF(A)\)與\(SDF(B)\)做融合，最后將其還原，即可得到\(blend(SDF(A),SDF(B))\)中0為分割線，左邊偉黑色，右邊為白色的理想結果。
融合距離函數有很多應用，比如下圖，這種方法的表示能力極強，可清楚看見瓢蟲、蘑菇草相互融合的畫面。
（ 四 ）水平集法（Level Set Methods）
這種方法與距離函數方法類似，找臨界面等於0處（類似等高線），在二維、三維空間中均可使用，找出\(f(x)\)值相等的所有點即可找出一個平面。
應用舉例:模擬水圈形成
（ 五 ）分型法（Fractals）
“分型”是指一個大物體由一些形狀相同的小物體組成，小物體又由一些形狀相同的更小物體組成，即“自相似”（類似遞歸思想）。
二、Explicit(顯式)表示法
顯式表示法主要有兩種：
- 將表面上的點表示出來（例如之前的用像素點表示三角形的面）
- 用
參數映射方法（上圖中，本文主要介紹這種方法）。
其中參數映射方法從式子\(f : \Bbb{R^2} \rightarrow \Bbb{R^3} ; \left(u,v\right) \mapsto \left(x,y,z\right)\),即可將一個二維平面\(\left(u,v\right)\)映射到三維平面\(\left(x,y,z\right)\)中。
它的優缺點和隱式表示法大體可看做相反
- 優點：很容易看出幾何形狀，通過映射關系即可知道。
- 缺點：但是很難從顯式關系式判斷幾何關系
( 一 )點雲表示法（Point Cloud）
不考慮物體是一個表面，用點表示物體。
（ 二 ）多邊形網格（Polygon Mesh）
（ 三 ）波前對象文件（The Wavefront Object File）
一個文本文件將構件分塊組織，再構成一個模型。其中對於第二張圖中的下半部分輸出 f 中 5/1/1 中的 '5'指頂點序號，第一個‘1’ 指紋理坐標，第二個‘1’ 指法線。
三、小結
關於顯式和隱式表示法，他們各有不同的優缺點，可根據實際應用場景選擇不同的表示方法。
