Lecture02_向量與線性代數_GAMES101 課堂筆記——2020.2.14

一、向量(Vectors)

     向量表示示意圖：

• 有序實數組，用以表示在不同坐標軸上的投影長度
• 有行和列兩種表達方式，在圖形學中常以列表達
• 代表了一個有方向的長度
• 基本運算：
  • 加法（滿足結合律和交換律）
  • 標量乘以向量（滿足結合律和分配率）
  • 點乘（內積，結果為標量，幾何意義是 [公式] ，滿足分配率和交換律，可用於判斷兩向量夾角，求向量長度，計算投影等）
  • 叉乘（外積，結果為向量，垂直於原向量構建的平面，長度為 [公式] ，交換叉乘中兩向量的位置，會得到長度相同但方向相反的向量）
  • 向量歸一化：p的歸一化向量q與p方向相同，長度為1，可通過點乘算出

（一）向量歸一化

     向量長度表示：\(||\vec a||\)
     單位向量：

• 長度 = 1
• 計算公式：

\[\hat a = \frac{\vec a}{||\vec a||} \]

• 可用於代表方向

（二）向量相加

     向量相加示意圖：

• 幾何：遵守平行法則、三角法則
• 代數上：坐標相加

（三）笛卡爾積

     向量相加示意圖：

    X和Y可以是任何(通常是正交的單位)向量，

\(A = {x \choose y }\)      \(A^T = \left(x,y \right )\)      \(||A|| = \sqrt{x_2+y_2}\)

（四）向量相乘

1. 點乘

     向量點乘示意圖：

\(\vec a \cdot \vec b = \left\| \vec a \right\| \left\| \vec b \right\| \cos \theta\)     \(\cos \theta = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left\| \vec a \right\| \left\| \vec b \right\|}\)     
對於單位向量：\(\cos \theta = \hat a \cdot \hat b\)

（1）點乘性質

\(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\)
\(\vec a \cdot \left( \vec b + \vec c \right) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c\)
\(\left( k \vec a \right) \cdot \vec b = \vec a \cdot \left( k \vec b \right) = k \left( \vec a \cdot \vec b \right)\)

（2）在笛卡爾坐標系中做點積
     組合相乘，然后相加。

• 二維坐標系

\[\vec a \cdot \vec b = {x_a \choose y_a} \cdot {x_b \choose y_b} = x_aX_b+y_ay_b \]

• 三維坐標系

\[\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b \]

（3）投影點積
    示意圖：

• \(\vec b_\bot\):\(\vec b\)在\(\vec a\)上的投影
  • \(\vec b_\bot\)必須屬於\(\vec a\)(或者屬於\(\hat a\))
    • \(\vec b_\bot = k \vec a\)
  • 求k的值
    • \(k = \left\| \vec b_\bot \right\| \cos \theta\)

（4）圖形學中的點乘

• 求兩個向量的夾角，(例如:光源與表面夾角的余弦值)
• 求一個向量在另一個向量上的投影

應用
測量兩個向量的方向
1）在一個圓中

    例如，圖中\(\vec a \cdot \vec b >0\)屬於前向（forward），\(\vec a \cdot \vec c <0\)屬於后向（backward）

2）兩個向量之間

（四）向量叉乘（Cross product）

    向量叉乘示意圖：

• 叉乘正交於兩個原始向量
• 方向遵循右手法則，（一般默認是右手法則，即：\(\vec x \times \vec y = + \vec z\),但是OpenGL默認是左手法則，即：\(\vec x \times \vec y = - \vec z\)）
• 可用於構建坐標系

1. 叉乘性質

2. 叉乘：笛卡爾法則

3. 圖形學中的叉乘

• 決定方向：左 or 右
  
      兩個向量進行叉乘，比如：\(\vec a \times \vec b >0\)，所以，\(\vec a\)在\(\vec b\)的順時針方向（也為：右邊）；\(\vec b \times \vec a <0\),所以，\(\vec b\)在\(\vec a\)的逆時針方向（也為：左邊），如果\(\vec b \times \vec a = 0\)，那么\(\vec a\)則與\(\vec b\)共線。后期如果更為細致，還可以用在游戲中判斷兩個物體的具體方位，比如以自身正對的方向，判斷敵人是在自己的左上、左下、右上、右下等位置

• 判斷內部 or 外部
  
      如上圖，若\(P\)點在三角形內部，則從同一個端點出發的邊（eg:\(\vec{AB}\)）與到\(P\)點的向量（eg:\(\vec{AP}\)）,按此順序判斷（即邊向量順序連接），則P點只會在三條邊的同一個方向；若在外部，P點相對於三個邊的位置將不一致。

注：即使A、B、C調換順序，按照首尾連接，效果一致。此方法可應用在光線追蹤中。

• 建立坐標系
  
      叉乘后的另一個向量必定與原來兩個向量垂直。

（五）標准正交基和坐標系（Orthonormal bases and coordinate frames）

1. 用途

• 對於表示點、位置、位置非常重要
• 通常有很多坐標系
  • 全球、本地、世界、模型、模型部分(頭，手,…)
• 關鍵問題是在這正交基和坐標系之間進行轉換（見Lecture03筆記）

2. 直角坐標系

    定義一個三維直角坐標系\(（u,v,w）\)：
\(\left\| \vec u \right\| = \left\| \vec v \right\| = \left\| \vec w \right\| = 1\)
\(\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec w = \vec u \cdot \vec w = 0\)
\(\vec w = \vec u \times \vec v\) (右手法則)
\(\vec p = \left( \vec p \cdot \vec u \right) + \left( \vec p \cdot v \right) \vec v + \left( \vec p \cdot \vec w \right) \vec w\)(projection)

二、矩陣（Matrix）

    在圖形學中，廣泛用於變換、旋轉、剪切、縮放等（詳見Lecture03筆記）

• 矩陣&標量值相乘/相加：每個元素相乘/相加。
• 矩陣&矩陣相乘：\(\left(M \times N \right) \left( N \times P \right)\),要求前一個的列數 = 后一個矩陣的行數。

矩陣&向量 相乘

• 把向量當做一個列矩陣\(\left( m \times \right)\)
• 關於y軸的2D反射

\[\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} \]

1. 矩陣轉置

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]

-矩陣轉置的性質

\[\left( AB \right)^T = B^TA^T \]

2.單位矩陣和逆變換

\(I_{3 \times 3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

\(AA^{-1} = A^{-1}A = I\)

\(\left( AB \right)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)

3. 矩陣形式中的向量相乘

• 點乘：

\[\vec a \cdot \vec b = {\vec a}^T \vec b = \begin{pmatrix} x_a & y_a & z_a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = \left(x_ax_b + y_ay_b + z_az_b \right) \]

• 叉乘：

\[\vec a \times \vec b = A * b = \begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} \]