我們來 推導 一個 圓錐 的 體積 。
一個 圓錐 可以看成是 由 很多 小圓盤 堆疊 起來 的， 小圓盤 很 薄， 隨着 高度 升高， 小圓盤 的 直徑 越來越小，
設 一個 圓錐 的 底 的 半徑 為 r， 高 為 H， 體積 為 V， 則 體積 可以寫成 積分
V = ʃ 小圓盤體積
當 高 為 h 時， 小圓盤 的 半徑 為 r / H * h ， 設 小圓盤 高 dh， 小圓盤體積 = π ( r / H * h ) ² * dh ， 於是 ，
V = ʃ 小圓盤體積
= ʃ π ( r / H * h ) ² * dh
= ʃ π r² / H² * h² * dh
= π r² / H² * ʃ h² dh
= π r² / H² * 1/3 h³
= 1/3 π r² / H² * h³
這是 不定積分， 實際上 的 體積 是 求 h 在 [ 0 , H ] 區間 上的 定積分 ， 所以，
V = 1/3 π r² / H² * H³ - 1/3 π r² / H² * 0³
= 1/3 π r² H - 0
= 1/3 π r² H
所以， 圓錐體積 = 1/3 * 底面積 * 高 。
嗯 ？ 這就 完事 了 ？ 我還以為 要 二重積分 呢 。