前言
- 高中必修二的立體幾何單元講球的面積的時候就是直接拋出一個公式，沒有絲毫證明，就覺得挺不嚴謹的，感覺還是要證明一下。
證明
前置知識🧀：
沒啥別的，會微積分就行。好吧不會的可以看看這里。
……
\(And...\) 首先我們證明一下如何在球的表面積和體積之間建立聯系。
顯然，可以用微分的思想，我們把球的表面分成許多個小方格，然后連接球心和每個小方格的頂點，將整個球分成很多個“錐體”，求和即可。
\[V=\sum\frac{1}{3}s_iR=\frac{1}{3}R\sum s_i=\frac{1}{3}SR \]當方格分的越多，計算結果就會越接近真實值。
這樣我們就建立起了球的面積和體積之間的聯系，可以知一求二。
正式證明：
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既然可以通過體積去求表面積，那么我們不妨就先求一下體積。
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顯然運用微分的思想，我們可以假設將球切成了很多很多片，每一片都可以近似於一個高無限趨近於 \(0\) 的圓柱。
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先考慮半球，那么顯然我們就可以通過積分得到：
\[\begin{aligned} V'&=\int_0^r\pi(r^2-x^2)dx\\ &=\pi r^3-\pi \int_0^rx^2dx\\ &=\pi r^3-\frac{1}{3}\pi r^3\\ &=\frac{2}{3}\pi r^3\\\\ \therefore V&=2V'=\frac{4}{3}\pi r^3 \end{aligned} \]至此我們就得到了球的體積公式，然后我們就可以通過這個公式得到球的面積公式。
后話
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其實也可以用微分直接求球的表面積，先給出一個定理：球的表面積等於其外接棱柱的側面積。
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我們仍然可以將球的表面分成無窮多個小方格，然后假設球的某一條過球心的軸會向外發光。這時每個小方格都會在圓柱上留下投影，通過一些簡單的平面幾何的證明即可得到其長的比和寬的比互為倒數，所以其面積是一樣的。
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放個圖可能會好理解一些：
