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原文作者：蘇劍林
標准思路
簡單來說，\(n\)維球體積就是如下\(n\)重積分
\[V_n(r)=\int_{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\leq r^2}\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2\dots \mathrm{d}x_n \]
用更加幾何的思路，我們通過一組平行面（\(n−1\)維的平行面）分割，使得n維球分解為一系列近似小柱體，因此，可以得到遞推公式
\[V_n (r)=\int_{-r}^r V_{n-1} \left(\sqrt{r^2-t^2}\right)\mathrm{d}t \]
設\(t=r\sin\theta_1\)，就有
\[V_n (r)=r\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_{n-1} \left(r\cos\theta_1\right)\cos\theta_1 \mathrm{d}\theta_1 \]
迭代一次就有
\[V_n (r)=r^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_{n-2} \left(r\cos\theta_1\cos\theta_2\right)\cos\theta_1\cos^2\theta_2 \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2 \]
迭代\(n−1\)次
\[\begin{align*}V_n (r)=&r^{n-1}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dots\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} V_1\left(r\cos\theta_1\cos\theta_2\dots \cos\theta_{n-1}\right)\times\\ &\cos\theta_1\cos^2\theta_2\dots\cos^{n-1}\theta_{n-1} \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2\dots \mathrm{d}\theta_{n-1}\end{align*}\]
其中\(V_1(r)=2r\)，即兩倍半徑長的線段。從而
\[V_n (r)=2r^{n}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dots\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta_1\cos^3\theta_2\dots\cos^{n}\theta_{n-1} \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2\dots \mathrm{d}\theta_{n-1} \]
完成這個積分，最終就得到n維球體積的公式，這個積分自然是可以求出來的（只是\(n−1\)個一維積分的乘積）。但是這樣的步驟太不容易了，為了將其跟伽馬函數聯系起來，還要做很多工作。總的來說，這是一個不容易記憶、也不怎么漂亮的標准方法。
絕妙思路
有一個利用高斯積分的絕妙技巧，能夠幫助我們直接將球體積跟伽馬函數聯系起來，整個過程堪稱鬼斧神工，而且給人“僅此一家，別無分號”的感覺。據說這個技巧為物理系學生所知曉，我是從百讀文庫看到的，原始來源則是《熱力學與統計力學》顧萊納(德)，例5.2 理想氣體的熵的統計計算。
這一絕妙的思路，始於我們用兩種不同的思路計算高斯積分
\[\begin{align*} G(n)=\int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-x_1^2-x_2^2-\dots-x_n^2\right)\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \dots \mathrm{d}x_n\tag{1} \end{align*}\]
一方面，將\((1)\)當作\(n\)次累次積分，因為我們已經算得
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-t^2)\mathrm{d}t=\sqrt{\pi} \]
而\((1)\)只不過是這樣的\(n\)個積分的乘積，因此
\[\begin{align*} G(n)=\pi^{n/2}\tag{2} \end{align*}\]
另一方面，將\((1)\)當作\(n\)重積分，由於積分變量只是跟徑向長度\(r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}\)有關的變量，因此很容易聯想到球坐標，在\(n\)維空間中，可以稱為“超球坐標”，不需要將超球坐標完整寫出來，只需要注意到，球內的積分，可以化為先對“球殼”進行積分，然后再對球半徑進行積分。
\[\begin{align*} G(n)=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{d}r\int_{S_n(r)}\exp\left(-r^2\right)\mathrm{d}S_n\tag{3} \end{align*}\]
這里的\(S_n(r)\)是半徑為\(r\)的\(n\)維球體表面（以及表面積，在不至於混淆的情況下，這里不作區分）。但是注意到，被積函數只跟\(r\)有關，因此對球表面進行積分，等價於原函數乘以球的表面積而已，因此\((2)\)式的結果為
\[\begin{align*} G(n)=\int_{0}^{+\infty}\mathrm{d}r\exp\left(-r^2\right)S_n(r)\tag{4} \end{align*}\]
雖然我們不知道\(n\)維球的體積和表面積公式，但是我們可以肯定，\(n\)維球的體積一定正比於\(r^n\)，即有
\[V_n (r)=V_n(1)r^n \]
球的表面積，就是球體積的一階導數（考慮球殼分割），那么
\[S_n (r)=n V_n(1)r^{n-1} \]
代入\((4)\)，得到
\[\begin{align*}G(n)=&n V_n(1)\int_{0}^{+\infty}r^{n-1}\exp\left(-r^2\right)\mathrm{d}r\\ =&\frac{1}{2}n V_n(1)\int_{0}^{+\infty}(r^2)^{n/2-1}\exp\left(-r^2\right)\mathrm{d}(r^2)\\ =&\frac{1}{2}n V_n(1)\int_{0}^{+\infty}z^{n/2-1}\exp\left(-z\right)\mathrm{d}z\quad\left(z=r^2\right)\\ =&\frac{1}{2}n V_n(1)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\tag{5}\end{align*}\]
結合\((2)\)得
\[\pi^{n/2}=G(n)=\frac{1}{2}n V_n(1)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \]
從而
\[V_n(1)=\frac{\pi^{n/2}}{\frac{1}{2}n\Gamma\left(\dfrac{n}{2}\right)}=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+1\right)} \]
最后
\[\Large\boxed{\displaystyle V_n(r)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+1\right)}r^n} \]
就這樣得到了\(n\)維球體積公式！！對\(r\)求導得到\(n\)維球表面積公式
\[\Large\boxed{\displaystyle S_n(r)=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}\right)}r^{n-1}} \]
結合前后兩個方法，就得到
\[\large\boxed{\displaystyle \color{red}{\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2}+1\right)}=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dots\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta_1\cos^3\theta_2\dots\cos^{n}\theta_{n-1} \mathrm{d}\theta_1 \mathrm{d}\theta_2\dots \mathrm{d}\theta_{n-1}}} \]
