球的體積交

題目鏈接：https://www.zhixincode.com/contest/10/problem/H?problem_id=153

題意：在三維坐標系中，有n個球體，每個球的球心為(xi,yi,zi)，半徑為ri。再給定一個球（球心為(X,Y,Z)，半徑為R），求該球與其余n個球相交部分體積。（保證一開始的n個球兩兩之間沒有重疊）

先介紹球缺的概念：

球缺是指球體被平面截去一部分后剩余的部分。截面稱為球缺的底面，垂直於截面的直徑被此截面截得的線段長稱為球缺的高。

球缺的表面積：（R是球體的半徑，h是球缺的高，r是球缺的底面半徑）

球缺的體積： 或（R是球體的半徑，h是球缺的高，r是底面半徑）

與球冠區別：球缺是體，而球冠是面，故球冠只能計算表面積

后面附有大牛對球缺體積公式的證明

思路：
因為n個球兩兩之間沒有重疊，所以考慮其中每個球(稱為小球)與最后給定的那個球(稱為大球)即可。分3種情況：

設 d 為兩球球心之間的距離。

一、d >= R+ri ：兩球不相交，即相交部分體積=0.

二、d+ri = R ：小球在大球里面，即相交部分體積 = 小球體積 =  .

三、R-ri < d < R+ri ：兩球相交，相交部分體積：

設  ， .

， .

V =  .

證明：https://blog.csdn.net/luyehao1/article/details/86583384

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long ll;
 
const double pi = acos(-1);
 
const int MAX = 100 + 10;
const int inf = 1e9 + 7;
 
typedef struct {
    double x, y, z, r;
}Point;
 
int n;
Point a[MAX];
Point s;
 
//兩點之間距離
double dis(Point p, Point q) {
    double ans = sqrt((p.x - q.x)*(p.x - q.x) + (p.y - q.y)*(p.y - q.y) + (p.z - q.z)*(p.z - q.z));
    return ans;
}
 
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    int Case = 1;
    while (T--)
    {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%lf%lf%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].z, &a[i].r);
        }
        scanf("%lf%lf%lf%lf", &s.x, &s.y, &s.z, &s.r);
        double ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            double d = dis(s, a[i]);
            if (d >= s.r + a[i].r) {
                continue;
            }
            else if (d + a[i].r <= s.r) {
                ans += (4.0 / 3)*pi*a[i].r*a[i].r*a[i].r;
            }
            else {
                double co = (s.r*s.r + d * d - a[i].r*a[i].r) / (2.0*d*s.r);
                double h = s.r*(1 - co);
                ans += (1.0 / 3)*pi*(3.0*s.r - h)*h*h;
                co = (a[i].r*a[i].r + d * d - s.r*s.r) / (2.0*d*a[i].r);
                h = a[i].r*(1 - co);
                ans += (1.0 / 3)*pi*(3.0*a[i].r - h)*h*h;
            }
        }
        printf("Case #%d: %.10lf\n", Case++, ans);
    }
    return 0;
}