求這些規則幾何體的體積如果都要算積分的話，那也太麻煩了。本文將討論如何不用積分就能得出結論。
雖然不用算積分，但也要用到積分的思想。因此本文承認以下引理：
引理 (袓暅原理) 所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體的體積相等
柱體
對某一柱體，構造與之具有相同的底面積和高的正四棱柱，則由引理可知，該柱體與構造出的正四棱柱具有相同的體積。又因為正四棱柱的體積等於底面積乘以高，所以該柱體的體積即為底面積乘以高。由此可得任意柱體的體積都是底面積乘以高，即：
\( V_{柱}=Sh \)
錐體
對某一錐體，構造與之具有相同的底面積和高的斜三棱錐，並要求它的底面是等腰直角三角形，且直角頂點與該斜三棱錐的頂點之間的那一條棱與底面垂直。（此幾何體俗稱「牆角」）
由引理可知，原錐體的體積與構造出的「牆角」具有相同的體積。下證「牆角」的體積是底與高乘積的三分之一。
如圖，綠色的 \(A_{1}-ABC\) 即為「牆角」，\(\angle{BAC}=90^{\circ}\), \(AA_1 \perp 面ABC\). 把它補成直三棱柱 \(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\), 連接 \(BC_1\).
此時這個直三棱柱被分成了三個部分，即 \(A_{1}-ABC\), \(A_{1}-BB_{1}C_{1}\) 和 \(A_{1}-BCC_1\), 它們的體積和即為該直三棱柱的體積。
因為等底等高的三棱錐體積相等（由引理 1 及截面和底面的相似性易知），且三棱錐可以把任一面當作底面，所以有
\( V_{A_{1}-BB_{1}C_{1}} = V_{C_{1}-A_{1}B_{1}B} = V_{C_{1}-A_{1}AB} \)
以及
\( V_{A_{1}-BB_{1}C_{1}} = V_{A_{1}-BCC_{1}} \)
綜合兩式得
\( V_{C_{1}-A_{1}AB} = V_{A_{1}-BB_{1}C_{1}} = V_{A_{1}-BCC_{1}} \)
即這三個三棱錐具有相同的體積，又因為它們的體積之和即為直三棱柱的體積，所以「牆角」的體積就是直三棱柱體積的三分之一。
由直三棱柱的體積等於底面積乘以高可知，「牆角」的體積就是底乘高的三分之一。
所以，原錐體的體積即為底乘高的三分之一，即：
\( V_{錐}=\frac{1}{3}Sh \)
台體
把台體補成錐體，這樣就出現了一大一小兩個錐體，台體的體積可以看成是大的錐體的體積減去小的錐體的體積，即：
\( V_{台} = V_{大錐} - V_{小錐} \)
\( V_{台} = \frac{1}{3}\left ( S_{下}h_{大} - S_{上}h_{小} \right ) \) (1)
根據截面和底面的相似性可知
\( \frac{h_{小}}{h_{大}} = \sqrt{\frac{S_{上}}{S_{下}}} \)
\( h_{小} = \sqrt{\frac{S_{上}}{S_{下}}}h_{大} \) (2)
\( h = h_{大} - h_{小} = \left ( 1-\sqrt{\frac{S_{上}}{S_{下}}} \right )\cdot h_{大} \)
\( h_{大} = \frac{h}{1-\sqrt{\frac{S_{上}}{S_{下}}}} \) (3)
將 (2) 代入 (1) 式得
\( V_{台} = \frac{1}{3}\left ( S_{下}\sqrt{\frac{S_{下}}{S_{上}}}h_{小} - S_{上}h_{小} \right ) \)
\( V_{台} = \frac{1}{3}h_{大}\left ( S_{下} - S_{上}\sqrt{\frac{S_{上}}{S_{下}}} \right ) \)
再代入 (3) 得
\( V_{台} = \frac{1}{3}\frac{h}{1-\sqrt{\frac{S_{上}}{S_{下}}}}\left ( S_{下} - S_{上}\sqrt{\frac{S_{上}}{S_{下}}} \right ) \)
\( V_{台} = \frac{1}{3}h\left ( \frac{\sqrt{S_{下}}S_{下}}{\sqrt{S_{下}}-\sqrt{S_{上}}}-\frac{\sqrt{S_{上}}S_{上}}{\sqrt{S_{下}}-\sqrt{S_{上}}} \right ) \)
\( V_{台} = \frac{1}{3}h\left ( \frac{(\sqrt{S_{下}}S_{下}-\sqrt{S_{上}}S_{上})(\sqrt{S_{下}}+\sqrt{S_{上}})}{S_{下}-S_{上}} \right ) \)
\( V_{台} = \frac{1}{3}h\left ( \frac{S_{下}^2-S_{上}^2+\sqrt{S_{上}S_{下}}(S_{下}-S_{上})}{S_{下}-S_{上}} \right ) \)
\( V_{台} = \frac{1}{3}h\left ( S_{上}+\sqrt{S_{上}S_{下}}+S_{下} \right ) \)
球體
按照之前的思路應用引理，尋找截面積與球處處相等的目前已經可以求出體積的幾何體。
考察半徑為 \(R\) 的球在距球心高 \(h\) 處的截面積 \(S\).
由勾股定理知，高 \(h\) 處的小圓半徑為 \( r = \sqrt{R^2-h^2} \).
所以
\( S = \pi r^2 \)
\( S = \pi \left( R^2-h^2 \right ) \)
\( S = \pi R^2 - \pi h^2 \)
觀察這個式子，\(R\) 是常數，\(h\) 在變化，容易得出結論：所需構造的等積幾何體即是球的外接圓柱除去中心在球心頂角為直角的圓錐的部分。
（圖片來自 Slide 《球體面積和體積》）
由此立得
\( V_{球} = \pi R^2\cdot(2R) - \frac{1}{3} \pi R^2\cdot(2R) \)
\( V_{球} = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 2R^3 \)
\( V_{球} = \frac{4}{3} \pi R^3 \)