我前幾天 在 我 在 反相吧 發 的 帖 《極坐標系 下的 牛頓第二定律》 https://tieba.baidu.com/p/6381430244 里 和 網友 joywee2007 討論 的 時候， 想到一個 問題， 見 5 樓
“
joywee 在 4 樓 回復 “但是，反過來我們可以設想：如果不考慮真空磁導率對光速的影響，無窮大的加速度為毛不能產生無窮大的速度呢？？”
這里， “真空磁導率對光速的影響” 的 意思 我還不是 太明白， 但 這 讓我 想起了 一個 想法， 過兩天 發帖 說明 。
”
這個問題 是 在 經典物理 里， 在 回旋加速器 里， 每一次 加速 ， 粒子 的 速度 變快， 粒子速度 變快 則 下次 的 加速 的 時間 會 變短， 假設 粒子 在 距離 電極 L 處， 開始加速， 通過 電極 時 停止加速， 粒子速度 越快， 通過 L 的 時間 越短， 也就是 加速時間 越短， 也就是 每一次 增加 的 速度 越小 。
那么， 這里 就有一個 極限問題， 隨着 加速 次數 的 增加， 粒子速度 越來越快， 而 粒子速度 越快， 則 每次 加速 的 時間 越短， 增加 的 速度 越小， 設 加速 次數 無限， 粒子速度 會否 無限 增大， 還是 有一個 上限 ？
我在 兩年前 在 反相吧 和 東方已曉 老師 討論 的 時候 也 想到 和 提出過 這個 問題 。 當時 討論 的 內容 涉及 東方已曉 老師 研究 的 如果 力 的 傳遞速度 是 光速， 當 粒子速度 接近光速時， 會否 對 粒子加速 和 測量粒子速度 產生影響， 而 “速度越大， 就越難加速” 的 現象 會否 就是 由此 產生 的 。
我在 當時 和 東方已曉 老師 討論 的 過程 中 提出， 粒子 的 速度 越快， 則 從 靠近 到 通過 電極 的 時間 越短， 也就是 加速時間 越短， 這 會不會 也是 “速度越大， 就越難加速” 的 原因 ？
接下來 我們 研究一下 這個 問題 。
如圖， 粒子 在 距離 電極 L 處 時， 電極 通電， 粒子 開始 加速， 粒子 到達 電極 時， 電極 斷電， 本次 加速結束 ， 粒子 通過 電極 。
L 為 粒子 到 電極 的 垂直距離， 設 粒子加速過程中 運動軌跡 為 直線， 一直 垂直於 電極， 這段 運動軌跡 也 稱為 L 。
設 第一次 加速 時 ， 粒子 初始速度 v0 = 0 ， 經過 L 的 時間 為 t1， 加速后， 粒子速度 為 v1 ， 從 開始加速（從 L 起點 開始） 運動 的 距離 為 s ， 電極 對 粒子 的 電場力 為 恆力 F 。
F 為 恆力， 是一個 簡化， 也是 理想狀態 。 按 常識 想當然， 電場 應該 會 隨 距離 的 增加 而 減弱， 就像 庫侖力， 但 這里 是 電場力， 不是 庫侖力， 同學們， 要 把 這里 的 問題 搞清楚， 還要 知道 電場 、電勢 、電場強度 、電壓 、電場力 、庫侖力 、介電常數 …… 是 什么， 不然， 讓 你們 設計 加速器 也 設計不出來的 哦 ！
當 粒子 靠近 電極 時， 和 電極 的 距離 變短， 電場強度 變大， 電場力 變大， 但是 由於 電極 位於 前方兩側， 故 兩個 電極 的 電場力 一部分 作為 L 的 法向分量 抵消了， 只有另一部分 作為 L 方向 的 分量 對 粒子 加速 。 所以 當 粒子 靠近電極 時， 受到的 電場力 並不會 因為 距離 縮短 而 急劇增大， 故 F 設為 恆力， 大概 也 講得通 吧 ！
要 認真一點 的 話， 如果 粒子 是 電子， 要用 正電場 對 其 加速， 前方 的 電極 應該是 高電勢， 也就是 接 火線， 但 如果 粒子 是 質子， 要用 負電場 對 其 加速， 這就有點 尷尬 了， “負電場” 是 什么 ？ 好吧， 我們 把 負電場 定義為 電場方向 和 剛才 的 正電場 的 方向 相反 的 電場 。
這 個 負電場 嘛， 好吧， 通俗一點， 要 對 質子 加速， 前方 的 電極 應該 是 低電勢， 但 這也 同樣 尷尬， “低電勢” 又是什么 ？ 接零線 ？ 接地線 ？ 你 去 接接 看 試試吧 ！ 哈哈 。
這個 低電勢， 低多少 ？ 要 怎么 低 ？ 比 我們 日常 的 生活環境， 比如 大地， 低 1000 伏 怎么樣 ？ 大地 的 電勢 為 0 的 話， 弄個 發電機 或 電池， 發 -1000 伏 出來， 怎么樣 ？
好吧， 這個 負電勢 發電機 留給 大家 研究 吧， 就像 永動機， 很好玩的 。
暫時， 我是 搞不出來， 所以， 我們這里 電極 還是 接火線， 只不過 把 電極 放到 L 的 起點， 就是 放到 開始加速 的 地方， 這樣， 對 質子 產生 “推力”， 推着 質子 加速 。
也就是說， 對於 電子， 電極 放在 L 的 終點， 對 電子 產生 拉力， 對於 質子， 電極 放在 L 的 起點， 對 質子 產生 推力 。
設 粒子質量 為 m ， 加速過程中， 加速度 為 a ， 速度 為 v， 路程 為 s， 時間 為 t， 每次 開始加速 時 t = 0 ， 初始速度 為 V₀ ，
a = F / m ， 因為 F 是 恆力， m 是 常量， 所以 a 也是 常量 。
v = a t + V₀
s = ʃ v dt
= ʃ ( a t + V₀ ) dt
= 1/2 * a t ² + V₀ t + C
s = 1/2 * a t ² + V₀ t + C (1) 式
當 t = 0 時， s = 0 ， 代入 (1) 式
0 = 1/2 * a * 0 ² + V₀ * 0 + C
0 = 0 + 0 + C
C = 0
將 C 代回 (1) 式 ，
s = 1/2 * a t ² + V₀ t
以 t 為 未知數， 這是一個 一元二次方程 ，
1/2 * a t ² + V₀ t - s = 0
它 的 根 是 ，
t = [ - V₀ + 根號 ( V₀ ² + 2 a s ) ] / a
t = [ - V₀ - 根號 ( V₀ ² + 2 a s ) ] / a
t = [ - V₀ - 根號 ( V₀ ² + 2 a s ) ] / a 是 負根， 取 正根 t = [ - V₀ + 根號 ( V₀ ² -+ 2 a s ) ] / a 。
設 粒子經過 L 的 時間， 也就是 加速時間 為 T ，
T = [ - V₀ + 根號 ( V₀ ² + 2 a L ) ] / a
上文說了， 第一次 加速 時 ， 粒子 初始速度 v0 = 0 ， 設 第 1 次 加速 的 時間 為 t1， 加速后 的 速度 為 v1， 第 2 次 加速 的 時間 為 t2， 加速后 的 速度 為 v2 …… 第 n 次 加速 的 時間 為 tn， 加速后 的 速度 為 vn 。
t1 = [ - 0 + 根號 ( 0 ² + 2 a L ) ] / a
v1 = a * t1 + v0
= a * [ - 0 + 根號 ( 0 ² + 2 a L ) ] / a + 0
= 根號 ( 2 a L )
t2 = [ - v1 + 根號 ( v1 ² + 2 a L ) ] / a
v2 = a * t2 + v1
= a * [ - v1 + 根號 ( v1 ² + 2 a L ) ] / a + v1
= [ - v1 + 根號 ( v1 ² + 2 a L ) ] + v1
= 根號 ( v1 ² + 2 a L )
= 根號 ( [ 根號 ( 2 a L ) ] ² + 2 a L )
= 根號 ( 2 a L + 2 a L )
= 根號 ( 4 a L )
t3 = [ - v2 + 根號 ( v2 ² + 2 a L ) ] / a
v3 = a * t3 + v1
= a * [ - v2 + 根號 ( v2 ² + 2 a L ) ] / a + v2
= [ - v2 + 根號 ( v2 ² + 2 a L ) ] + v2
= 根號 ( v2 ² + 2 a L )
= 根號 ( [ 根號 ( 4 a L ) ] ² + 2 a L )
= 根號 ( 4 a L + 2 a L )
= 根號 ( 6 a L )
…… 依此類推 ， 可知
tn = { 根號 ( 2 n a L ) - 根號 [ 2 ( n - 1 ) a L ] } / a
vn = 根號 ( 2 n a L )
v1, v2, v3 …… vn 是一個 數列， 看得出來， 這個 數列 是 發散 的， 沒有極限 。 當 n -> 無窮 時， vn -> 無窮 。
也就是說， vn 可以無限增大， 粒子 可以一直 加速， 速度 沒有 上限 。
vn 還是 個 標准 的 1/2 次方 函數 呢 。
其實可以這樣看， 把 每一次 的 加速過程 連起來， 也就是 把 每次 的 L 連起來， 實際上 n 次 加速 就是 在 長度 為 n * L 的 路程 上 加速度 為 a 的 勻加速 。
也就是說， n 次 加速 實際上 等價於 一個 普通 的 勻加速運動 ， 或者說， n 次 加速 實際上 就是 一個 普通 的 勻加速運動 。
還可以 這樣 看 ， 粒子 在 回旋加速器 里 環繞一圈 就 加速一次， 經過 L 時 加速， 設 粒子 飛行 的 環形軌跡 長度 為 10 L， 加速 發生在 L 里， 則 每一圈 飛行 不加速 的 路程 是 9 L 。
每一次 加速 的 加速時間 是 t1, t2, t3 …… tn ， 可以 大略 的 認為 每一圈 飛行 的 時間 為 10 t1, 10 t2, 10 t3 …… 10 tn ， 其中 不加速 的 時間 是 9 t1, 9 t2, 9 t3 …… 9 tn 。
當 經過 n 次 加速 時， 粒子 飛行了 n 圈， 經過 的 時間 T_n圈 = 10 t1 + 10 t2 + 10 t3 + …… + 10 tn ，
T_n圈 = 10 t1 + 10 t2 + 10 t3 + …… + 10 tn
= 10 * ( t1 + t2 + t3 + …… + tn )
經過 n 次 加速 時， 加速時間 總和 T_n加速 = t1 + t2 + t3 + …… + tn ，
T_n圈 = 10 * ( t1 + t2 + t3 + …… + tn )
T_n圈 = 10 * T_n加速
T_n加速 = 1/10 * T_n圈
經過了 無限長 的 時間， 此時， T_n圈 -> 無窮 ， 粒子 飛行了 無數圈， n -> 無窮 ，
T_n加速 = 1/10 * T_n圈
= 1/10 * 無窮
= 無窮
T_n加速 -> 無窮
T_n加速 -> 無窮 表示 加速時間 也是 無限長， 對於 加速度 為 常量 a 的 勻加速運動 ， 加速時間 無限長 也就是 速度 加速 到 無限大 。
上面說 “經過了 無限長 的 時間， 此時， T_n圈 -> 無窮 ， 粒子 飛行了 無數圈， n -> 無窮 ，” ， 能不能 反過來 說 “當 n -> 無窮 時， 經過了 無限長 的 時間 ” ？ 不一定 。 如果 每一圈 飛行 的 速度 v1, v2, v3 …… vn 是 一個 發散 的 等比數列， 那么， 在 一段 有限 的 時間 里， 就可以 飛行 無數圈， n -> 無窮 。
剛剛 的 推導 里， 每一次 加速 之間 的 時間間隔 是 9 tn ， 可以 讓 每一次 加速 之間 的 時間間隔 為一個 常量 T_間隔 ，
每一圈 飛行 的 時間 為 t1 + T_間隔 , t2 + T_間隔 , t3 + T_間隔 …… t4 + T_間隔 ，
T_n圈 = t1 + T_間隔 + t2 + T_間隔 + t3 + T_間隔 + …… + t4 + T_間隔
= ( t1 + t2 + t3 + …… + tn ) + n * T_間隔
= T_n加速 + n * T_間隔
T_n圈 = T_n加速 + n * T_間隔
T_n加速 = T_n圈 - n * T_間隔
當 n -> 無窮 時， T_n圈 -> 無窮， n * T_間隔 -> 無窮 ，
T_n加速 = T_n圈 - n * T_間隔
= 無窮 - 無窮
這個 無窮 - 無窮 是 一個 有限 的 值 還是 也是 無窮， 這個 是 說不定 的 。
當 n -> 無窮 時， tn -> 0， 而 T_間隔 是 一個 常量， 那么， 誰 能 保證 T_n加速 = t1 + t2 + t3 + …… + tn 不是 一個 有限大小 的 值 呢 ？
最后 這句 反問句 有點 繞， 可能 會 理解 反了 ， 它 的 意思 是 ， 誰 能 保證 T_n加速 = t1 + t2 + t3 + …… + tn 是 會 無限 增大 的 ？
誰 能 保證 T_n加速 = t1 + t2 + t3 + …… + tn 是 發散 的 ？
說到這里， 我想起了 1 + 1/2 + 1/3 + …… + 1/n , n -> 無窮 是 收斂 還是 發散 的 問題 ， 這是 調和級數 ？ 還是 中華級數 ？ 嗯， 下次 研究 這個 。
F =