錯失獎勵概率

　　在我的嚴密監視下，小朋友撿煙頭的幾率已經從原來的“絕不放過”下降到了現在的20%，如果他直到回家還沒有煙頭，就能得到一個棒棒糖作為獎勵。當然，每個煙頭對他來說仍然存在着獨特的魅力，在最初遇到的3個煙頭中沒有經受住考驗的概率是多少？

　　設隨機變量X是小朋友最終撿起煙頭時所發現的煙頭個數，那么：

　　最初遇到的3個煙頭中沒有抵抗住誘惑的概率可以用P(X ≤ 3)表示：

　　每個煙頭都是一次考驗，我的關注點是，小朋友在第幾次考驗時會撿起煙頭？

質量函數

　　小朋友每次遇到煙頭的行為都是一個獨立的隨機試驗，試驗只有成功和失敗兩種結果，且對於每個隨機試驗來說，成功的概率都是相同的。對於小朋友自己來說，撿起煙頭是成功，錯過才是失敗，只要成功一次就沒有棒棒糖，試驗結束。現在用p表示成功率（撿起煙頭的概率），q = 1 – p表示失敗率，隨機變量X表示第一次成功時所經歷的試驗次數，那么在進行了r次試驗后才遇到第一次成功的概率（或者說在第r次試驗取得成功前，需要經歷r-1次失敗的概率）可以表示為：

　　這個分布就是幾何分布（Geometric distribution），X服從幾何分布，記為X～GE(p)。

　　下面的python代碼展示了r取不同值時的P(X=r)。

 1 import numpy as np
 2 import matplotlib.pyplot as plt
 3 from scipy import stats
 4
 5 p = 0.2 # 成功率
 6 print('X ~ GE({0})'.format(p))
 7
 8 rs = np.array(range(1, 11, 1)) # 隨機變量的取值
 9 # 幾何分布 X ~ GE(0.2)
10 ps = stats.geom.pmf(rs, p) # 每個隨機變量對應的概率
11 for i, r in enumerate(rs):
12     print('P(X={0})={1}'.format(r, ps[i]))
13
14 plt.bar(left=rs, height=ps, width=0.5)
15 plt.xlabel('r, X=r表示第r次試驗才成功')
16 plt.ylabel('P(X=r)')
17 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用來正常顯示中文標簽
18 plt.show()

　　X ~ GE(0.2)

　　P(X=1)=0.2

　　P(X=2)=0.16000000000000003

　　P(X=3)=0.12800000000000003

　　P(X=4)=0.10240000000000003

　　P(X=5)=0.08192000000000002

　　P(X=6)=0.06553600000000002

　　P(X=7)=0.052428800000000025

　　P(X=8)=0.041943040000000015

　　P(X=9)=0.033554432000000016

　　P(X=10)=0.026843545600000015

　　對於幾何分布來說，r是大於等於1的自然數，並且只有成功的概率處於(0, 1)之間才有意義，因此當r = 1時，P(X = r)達到最大值，隨着r的增大，P(X = r)也越來越小。

　　幾何分布是一個典型的長尾分布，第一次就成功的概率是最高的，這看似有違直覺。這里需要注意的是，“第r次才取得成功”和“在r次之內取得成功”是兩回事，后者才是概率越來越大。

　　實際中有不少隨機變量服從幾何分布，例如某產品的不合格率為0.05，則首次查到不合格品的檢查次數X~GE(0.05)。

分布的形狀

　　現在回到問題的關注點：小朋友在第幾次考驗時會撿起煙頭？這個問題並不能確切地回答，可以回答的是，在r次考驗之內撿起煙頭的概率。這個概率可以用分布函數表示：

　　另一種計算方法是：

　　P(X > r)表示在取得第一次成功時，前r次試驗都失敗的概率。F(r)更為專業的說法是：為得到1次成功而進行r次伯努利試驗，r的概率分布。

　　下面的代碼展示了幾何分布的形狀：

1 fs = stats.geom.cdf(rs, p) # 每個r對應的分布
2 for i, r in enumerate(rs):
3     print('F({0})=P(X<={0})={1}'.format(r, fs[i]))
4
5 plt.bar(left=rs, height=fs, width=0.5)
6 plt.xlabel('r, X<=r表示前r次試驗至少有一次成功')
7 plt.ylabel('F(r) = P(X <= r)')
8 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用來正常顯示中文標簽
9 plt.show()