注：抽樣分布就是統計量的分布，其特點是不包含未知參數且盡可能多的概括了樣本信息。除了常見的正態分布之外，還有卡方分布、t分布和F分布為最常見的描述抽樣分布的分布函數。這幾個分布函數在數理統計中也非常有名。我們常說的卡方檢驗、t檢驗和F檢驗就跟這三個分布有關。下面分別從定義、性質、函數圖像和分位數等方面介紹三大分布。
0. 分位點/分位數（Fractile）
分位數是一個非常重要的概念，一開始也有點難理解。首先要明確一點，分位數分的是面積。更准確的說，分位數分的是某個特定分布的概率密度函數曲線下的面積。每給定一個分位數，這個概率密度函數曲線就被該點一分為二。
在英語中，表示分位數的有兩個詞，它們的區別如下：
As nouns the difference between fractile and quantile is that fractile is (statistics) the value of a distribution for which some fraction of the sample lies below while quantile is (statistics) one of the class of values of a variate which divides the members of a batch or sample into equal-sized subgroups of adjacent values or a probability distribution into distributions of equal probability.
摘自，https://wikidiff.com/fractile/quantile
因此，從上面的描述可以看出來這里所說的分位點是指fractile。其實還有一個詞，percentile，這個詞好像用的更多。
四分位數（Quartiles）
四分位數是平時用的比較多的概念，屬於quantile的一種。對於一組數據來說，四分位數就是將這組數據排序后，均分為4部分的3個分割點位置的數值。例如1， 3， 5， 7， 9， 11，其3個四分位點分別是3，6，9。分別叫做第一四分位數（Q1），第二四分位數（Q2），第三四分位數（Q3）。
對於概率密度函數來說，四分位點就是將概率密度曲線下的面積均分為4部分的點。
上$\alpha$分位數（Upper Percentile）
上$\alpha$分位數是概率密度函數定義域內的一個數值，這個數值將概率密度函數曲線下的面積沿x軸分成了兩個部分，其中該點右側部分概率密度函數曲線與x軸圍成的面積等於$\alpha$。
圖1，某分布的上$\alpha$分位數，$x_{\alpha}$
由於概率密度函數曲線下的面積就是概率，因此上$\alpha$分位數中的$\alpha$既是該點右側區域的面積，也是在這個分布中取到所有大於該點的值的概率。
參考圖1，$p(x \geq x_{\alpha}) = \alpha$
此時有兩個值，一個是$\alpha$，另一個是$x_{\alpha}$。這兩個值中確定其中一個，另一個值也就確定了。因此我們可以通過一個給定的$\alpha$值，求在某個特定分布中的上$\alpha$分位數，即$x_{\alpha}$，的值；也可以在某個特定分布中，任意給定一個定義域內的點$x$，求取到比該點的值更大的值的概率，即該點的$\alpha$值。
1. 卡方分布（$\chi^2$）
從其名稱中可以看到，卡方分布跟平方有關。事實也是這樣，卡方分布是由服從標准正態分布的隨機變量的平方和組成的。
1.1 定義
設隨機變量 $X_1, X_2, ..., X_n$ 相互獨立，都服從 $N(0, 1)$，則稱
$$\chi^2 = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } X_i^2$$
服從自由度為n的$\chi^2$分布，記為$\chi^2 \sim \chi^2(n)$
自由度是指上式右端包含的獨立變量的個數。
1.2 性質
設 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$，則
- $E(\chi^2) = n$，$D(\chi^2) = 2n$；
- $\chi^2$分布的可加性：設$Y_1 \sim \chi^2(n_1), Y_2 \sim \chi^2(n_2)$，且$Y_1, Y_2$相互獨立，則 $Y_1 + Y_2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)$。該性質可以推廣到有限個隨機變量的情形，設 $Y_1, ..., Y_m$ 相互獨立，$Y_i \sim \chi^2(n_i)$，則$\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ m } Y_i = \chi^2(\displaystyle \sum_{ i = 1}^{m} n_i)$
1.3 函數圖像
卡方分布的概率密度曲線如下：
圖2，卡方分布$\chi^2(20)$的PDF圖
Python實現代碼如下：
參考：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.chi2.html#scipy.stats.chi2
1 def chi2_distribution(df=1): 2 """ 3 卡方分布，在實際的定義中只有一個參數df，即定義中的n 4 :param df: 自由度，也就是該分布中獨立變量的個數 5 :return: 6 """ 7 8 fig, ax = plt.subplots(1, 1) 9 10 # 直接傳入參數, Display the probability density function (pdf) 11 x = np.linspace(stats.chi2.ppf(0.001, df), 12 stats.chi2.ppf(0.999, df), 200) 13 ax.plot(x, stats.chi2.pdf(x, df), 'r-', 14 lw=5, alpha=0.6, label=r'$\chi^2$ pdf') 15 16 # 從凍結的均勻分布取值, Freeze the distribution and display the frozen pdf 17 chi2_dis = stats.chi2(df=df) 18 ax.plot(x, chi2_dis.pdf(x), 'k-', 19 lw=2, label='frozen pdf') 20 21 # 計算ppf分別等於0.001, 0.5, 0.999時的x值 22 vals = chi2_dis.ppf([0.001, 0.5, 0.999]) 23 print(vals) # [ 2.004 4. 5.996] 24 25 # Check accuracy of cdf and ppf 26 print(np.allclose([0.001, 0.5, 0.999], chi2_dis.cdf(vals))) # Ture 27 28 # Generate random numbers 29 r = chi2_dis.rvs(size=10000) 30 ax.hist(r, normed=True, histtype='stepfilled', alpha=0.2) 31 plt.ylabel('Probability') 32 plt.title(r'PDF of $\chi^2$({})'.format(df)) 33 ax.legend(loc='best', frameon=False) 34 plt.show() 35 36 chi2_distribution(df=20)
其實在scipy對卡方分布的說明中，卡方分布還有其他兩個參數，loc和scale，默認情況下，$loc = 0$， $scale = 1$。這時相當於是一個標准化的卡方分布，可以根據loc和scale對函數進行平移和縮放。官方文檔是這樣描述的：
The probability density above is defined in the “standardized” form. To shift and/or scale the distribution use the loc and scale parameters. Specifically, chi2.pdf(x, df, loc, scale) is identically equivalent to chi2.pdf(y, df) / scale with y = (x - loc) / scale.
不同參數的卡方分布
圖3，不同參數下的卡方分布PDF圖像
當自由度df等於1或2時，函數圖像都呈單調遞減的趨勢；當df大於等於3時，呈先增后減的趨勢。從定義上來看，df的值只能取正整數，但是實際上傳入小數也可以做出圖像（此時的df不知道該如何解釋）。
圖3的Python實現代碼如下：
1 def diff_chi2_dis(): 2 """ 3 不同參數下的卡方分布 4 :return: 5 """ 6 # chi2_dis_0_5 = stats.chi2(df=0.5) 7 chi2_dis_1 = stats.chi2(df=1) 8 chi2_dis_4 = stats.chi2(df=4) 9 chi2_dis_10 = stats.chi2(df=10) 10 chi2_dis_20 = stats.chi2(df=20) 11 12 # x1 = np.linspace(chi2_dis_0_5.ppf(0.01), chi2_dis_0_5.ppf(0.99), 100) 13 x2 = np.linspace(chi2_dis_1.ppf(0.65), chi2_dis_1.ppf(0.9999999), 100) 14 x3 = np.linspace(chi2_dis_4.ppf(0.000001), chi2_dis_4.ppf(0.999999), 100) 15 x4 = np.linspace(chi2_dis_10.ppf(0.000001), chi2_dis_10.ppf(0.99999), 100) 16 x5 = np.linspace(chi2_dis_20.ppf(0.00000001), chi2_dis_20.ppf(0.9999), 100) 17 fig, ax = plt.subplots(1, 1) 18 # ax.plot(x1, chi2_dis_0_5.pdf(x1), 'b-', lw=2, label=r'df = 0.5') 19 ax.plot(x2, chi2_dis_1.pdf(x2), 'g-', lw=2, label='df = 1') 20 ax.plot(x3, chi2_dis_4.pdf(x3), 'r-', lw=2, label='df = 4') 21 ax.plot(x4, chi2_dis_10.pdf(x4), 'b-', lw=2, label='df = 10') 22 ax.plot(x5, chi2_dis_20.pdf(x5), 'y-', lw=2, label='df = 20') 23 plt.ylabel('Probability') 24 plt.title(r'PDF of $\chi^2$ Distribution') 25 ax.legend(loc='best', frameon=False) 26 plt.show() 27 28 diff_chi2_dis()
1.4 分位數的計算
這里主要說明上分位數的計算，因為這也是用的比較多的情況。按照上分位數的定義，如果要計算$x_0$的$\alpha$值，只需要計算$1 - cdf_x$就可以得到。
參考圖2，我們分別計算在卡方分布$\chi^2(20)$中，$x = 20$以及$x = 40$時對應的$\alpha$值。
>>> from scipy import stats >>> 1 - stats.chi2.cdf(20, 20) 0.45792971447185216 >>> 1 - stats.chi2.cdf(40, 20) 0.0049954123083075785
上面的cdf函數有兩個參數，第一個位置是$x$的值，第二個位置是$df$的值。從圖2中也可以看到，$20$基本上位於PDF圖像中間的位置，該位置右邊基本上占了整個PDF的一半；$40$這個值非常靠右，該值右邊的面積非常小，計算得出在該分布中只有大約0.5%的值大於40。
由於計算某個分布下特定$x$的$\alpha$值在統計的應用中非常重要，因此有專門的函數來做相關的計算，這個專門的函數在$\alpha$值非常小的情況下（即$x$的值在圖像中非常靠右），計算出來的結果比上面的方法更精確。
下面是官方文檔的說明：
Survival function (also defined as 1 - cdf, but sf is sometimes more accurate).
>>> stats.chi2.sf(20, 20) 0.45792971447185232 >>> stats.chi2.sf(40, 20) 0.0049954123083075785 >>> stats.chi2.sf(100, 20) 1.2596084591660847e-12 >>> 1 - stats.chi2.cdf(100, 20) 1.2596590437397026e-12 >>> 1 - stats.chi2.cdf(1000, 20) 0.0 >>> stats.chi2.sf(1000, 20) 3.9047966391213445e-199
從上面可以看到，當$x = 1000$時，用第一種方法的精度已經不夠用了，但是第二種方法還是可以計算出一個非零的數值。
在介紹分位數時，說過在某個分布中，$x$與$\alpha$知道其中一個，就可以計算出另一個值來。上面的方法是已知$x$計算$\alpha$，下面是根據$\alpha$的值，求對應的$x$。
>>> stats.chi2.isf(0.995, 20) 7.4338442629342243 >>> stats.chi2.isf(0.95, 20) 10.850811394182589 >>> stats.chi2.isf(0.5, 20) 19.337429229428256 >>> stats.chi2.isf(0.05, 20) 31.410432844230929 >>> stats.chi2.isf(0.005, 20) 39.996846312938651
看到0.05這樣的值是不是很熟悉？其實這個過程就是我們學統計時查表的過程，通常概率論與數理統計方面的書后面的附表都會有常見分布的"上側分位點表"。有了Python，我們以后就不需要翻書查表了。
參考這里：https://www.medcalc.org/manual/chi-square-table.php
這里的$\alpha$就相當於假設檢驗中的$p$值。
圖4，統計相關書籍中的附表
2. t分布
t分布的推導最早由大地測量學家Friedrich Robert Helmert於1876年提出，並由數學家Lüroth證明。英國人威廉·戈塞（Willam S. Gosset）於1908年再次發現並發表了t分布，當時他還在愛爾蘭都柏林的吉尼斯（Guinness）啤酒釀酒廠工作。酒廠雖然禁止員工發表一切與釀酒研究有關的成果，但允許他在不提到釀酒的前提下，以筆名發表t分布的發現，所以論文使用了“學生”（Student）這一筆名。之后t檢驗以及相關理論經由羅納德·費雪（Sir Ronald Aylmer Fisher）發揚光大，為了感謝戈塞的功勞，費雪將此分布命名為學生t分布（Student's t）。
2.1 定義
設$X \sim N(0, 1), Y \sim \chi^2(n)$，且X和Y相互獨立，則稱隨機變量$T = \frac{X} {\sqrt{Y/n}}$服從自由度為n的t分布，記為 $T \sim t(n)$。
- 當n=1的t分布，就是柯西分布
2.2 性質
設$T \sim t(n)$，則
- 當$n > 1$時，$E(T) = 0$，當$n = 1$時，期望不存在（參考柯西分布的期望，link）
- 當$n > 2$時，$D(T) = \frac{n} {n - 2}$，當$n \leq 2$時，方差不存在
2.3 函數圖像
圖5，t(20)的PDF圖像
Python代碼如下，更上面的代碼差別不大：
參考：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.t.html
1 import numpy as np 2 from scipy import stats 3 import matplotlib.pyplot as plt 4 # http://user.engineering.uiowa.edu/~dbricker/Stacks_pdf1/Sampling_Distns.pdf 5 # https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.t.html 6 7 8 def t_distribution(df=1.0): 9 """ 10 t分布，在實際的定義中只有一個參數df，即定義中的n 11 :param df: 自由度，也就是該分布包含的卡方分布中獨立變量的個數 12 :return: 13 """ 14 15 fig, ax = plt.subplots(1, 1) 16 17 # 直接傳入參數, Display the probability density function (pdf) 18 x = np.linspace(stats.t.ppf(0.001, df), 19 stats.t.ppf(0.999, df), 200) 20 ax.plot(x, stats.t.pdf(x, df), 'r-', 21 lw=5, alpha=0.6, label=r't pdf') 22 23 # 從凍結的t分布取值, Freeze the distribution and display the frozen pdf 24 t_dis = stats.t(df=df) 25 ax.plot(x, t_dis.pdf(x), 'k-', 26 lw=2, label='frozen pdf') 27 28 # 計算ppf分別等於0.001, 0.5, 0.999時的x值 29 vals = t_dis.ppf([0.001, 0.5, 0.999]) 30 print(vals) # [ -3.55180834e+00 6.72145055e-17 3.55180834e+00] 31 32 # Check accuracy of cdf and ppf 33 print(np.allclose([0.001, 0.5, 0.999], t_dis.cdf(vals))) # Ture 34 35 # Generate random numbers 36 r = t_dis.rvs(size=10000) 37 ax.hist(r, normed=True, histtype='stepfilled', alpha=0.2) 38 plt.ylabel('Probability') 39 plt.title(r'PDF of t({})'.format(df)) 40 ax.legend(loc='best', frameon=False) 41 plt.show() 42 43 t_distribution(df=20)
圖6，不同參數下的t分布
從圖6中可以看到，$t(1)$與標准正態分布之間的差別還是比較大的，但是當自由度n趨近於無窮大時，t分布與標准正態分布沒有差別（公式上的形式將變得完全相同，這里沒有列出概率密度函數的公式）。較大的區別在於，當自由度n較小時，t分布比標准正態分布的尾部更寬（fatter tails），因此也比正態分布更慢的趨近於0。關於這兩類分布的異同將會在后面的假設檢驗部分詳細闡述。
Python代碼如下：
1 def diff_t_dis(): 2 """ 3 不同參數下的t分布 4 :return: 5 """ 6 norm_dis = stats.norm() 7 t_dis_1 = stats.t(df=1) 8 t_dis_4 = stats.t(df=4) 9 t_dis_10 = stats.t(df=10) 10 t_dis_20 = stats.t(df=20) 11 12 x1 = np.linspace(norm_dis.ppf(0.000001), norm_dis.ppf(0.999999), 1000) 13 x2 = np.linspace(t_dis_1.ppf(0.04), t_dis_1.ppf(0.96), 1000) 14 x3 = np.linspace(t_dis_4.ppf(0.001), t_dis_4.ppf(0.999), 1000) 15 x4 = np.linspace(t_dis_10.ppf(0.001), t_dis_10.ppf(0.999), 1000) 16 x5 = np.linspace(t_dis_20.ppf(0.001), t_dis_20.ppf(0.999), 1000) 17 fig, ax = plt.subplots(1, 1) 18 ax.plot(x1, norm_dis.pdf(x1), 'r-', lw=2, label=r'N(0, 1)') 19 ax.plot(x2, t_dis_1.pdf(x2), 'b-', lw=2, label='t(1)') 20 ax.plot(x3, t_dis_4.pdf(x3), 'g-', lw=2, label='t(4)') 21 ax.plot(x4, t_dis_10.pdf(x4), 'm-', lw=2, label='t(10)') 22 ax.plot(x5, t_dis_20.pdf(x5), 'y-', lw=2, label='t(20)') 23 plt.ylabel('Probability') 24 plt.title(r'PDF of t Distribution') 25 ax.legend(loc='best', frameon=False) 26 plt.show() 27 28 diff_t_dis()
2.4 t分布中上$\alpha$分位數的計算
在Python中的計算方法，參考1.4
3. F分布
F分布由兩個卡方分布構成。
3.1 定義
設$X \sim \chi^2(n_1)$，$Y \sim \chi^2(n_2)$，且$X, Y$相互獨立，則稱隨機變量$F = \frac{X/n_1} {Y/n_2}$服從自由度為$(n_1, n_2)$的F分布，記為$F \sim F(n_1, n_2)$。其中$n_1$稱為第一自由度，$n_2$稱為第二自由度。
3.2 性質
設$F \sim F(n, m)$，則
- $E(F) = \frac{m}{m - 2}$，其中$m \geq 2$，否則期望不存在
- $D(F) = \frac{2m^2(n + m - 2)} {n(m - 2)^2(m - 4)}$，其中$m \geq 4$，否則方差不存在
- $\frac{1} {F} \sim F(m, n)$，即F分布的倒數也是F分布（參數交換）
3.3 函數圖像
圖7，F(4, 10)的PDF圖像
下面是Pyhon實現的代碼，圖7使用Spyder畫出來的圖，與上面使用Pycharm畫出來的圖差別還有點大。
參考：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.f.html
1 import numpy as np 2 from scipy import stats 3 import matplotlib.pyplot as plt 4 5 6 def f_distribution(dfn=4, dfd=10): 7 """ 8 F分布，有兩個參數dfn, dfd，分別表示定義中的n1和n2 9 :param dfn: 第一自由度，分子中卡方分布的自由度 10 :param dfd: 第二自由度，分母中卡方分布的自由度 11 :return: 12 """ 13 14 fig, ax = plt.subplots(1, 1) 15 16 # 直接傳入參數, Display the probability density function (pdf) 17 x = np.linspace(stats.f.ppf(0.0001, dfn, dfd), 18 stats.f.ppf(0.999, dfn, dfd), 200) 19 ax.plot(x, stats.f.pdf(x, dfn, dfd), 'r-', 20 lw=5, alpha=0.6, label=r'f pdf') 21 22 # 從凍結的均勻分布取值, Freeze the distribution and display the frozen pdf 23 f_dis = stats.f(dfn=dfn, dfd=dfd) 24 ax.plot(x, f_dis.pdf(x), 'k-', 25 lw=2, label='frozen pdf') 26 27 # 計算ppf分別等於0.001, 0.5, 0.999時的x值 28 vals = f_dis.ppf([0.001, 0.5, 0.999]) 29 print(vals) # [ 0.02081053 0.89881713 11.28275151] 30 31 # Check accuracy of cdf and ppf 32 print(np.allclose([0.001, 0.5, 0.999], f_dis.cdf(vals))) # Ture 33 34 # Generate random numbers 35 r = f_dis.rvs(size=10000) 36 ax.hist(r, normed=True, histtype='stepfilled', alpha=0.2) 37 plt.ylabel('Probability') 38 plt.title(r'PDF of F({}, {})'.format(dfn, dfd)) 39 ax.legend(loc='best', frameon=False) 40 plt.savefig('f_dist_pdf2.png', dip=200) 41 42 f_distribution(dfn=4, dfd=10)
F分布有兩個參數，dfn和dfd，分別代表分子上的第一自由度和分母上的第二自由度。
下面是不同參數下，F分布的概率密度函數圖像：
圖8，不同參數下的F分布
Python實現的代碼：
1 def diff_f_dis(): 2 """ 3 不同參數下的F分布 4 :return: 5 """ 6 # f_dis_0_5 = stats.f(dfn=10, dfd=1) 7 f_dis_1_30 = stats.f(dfn=1, dfd=30) 8 f_dis_30_5 = stats.f(dfn=30, dfd=5) 9 f_dis_30_30 = stats.f(dfn=30, dfd=30) 10 f_dis_30_100 = stats.f(dfn=30, dfd=100) 11 f_dis_100_100 = stats.f(dfn=100, dfd=100) 12 13 # x1 = np.linspace(f_dis_0_5.ppf(0.01), f_dis_0_5.ppf(0.99), 100) 14 x2 = np.linspace(f_dis_1_30.ppf(0.2), f_dis_1_30.ppf(0.99), 100) 15 x3 = np.linspace(f_dis_30_5.ppf(0.00001), f_dis_30_5.ppf(0.99), 100) 16 x4 = np.linspace(f_dis_30_30.ppf(0.00001), f_dis_30_30.ppf(0.999), 100) 17 x6 = np.linspace(f_dis_30_100.ppf(0.0001), f_dis_30_100.ppf(0.999), 100) 18 x5 = np.linspace(f_dis_100_100.ppf(0.0001), f_dis_100_100.ppf(0.9999), 100) 19 fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(20, 10)) 20 # ax.plot(x1, f_dis_0_5.pdf(x1), 'b-', lw=2, label=r'F(0.5, 0.5)') 21 ax.plot(x2, f_dis_1_30.pdf(x2), 'g-', lw=2, label='F(1, 30)') 22 ax.plot(x3, f_dis_30_5.pdf(x3), 'r-', lw=2, label='F(30, 5)') 23 ax.plot(x4, f_dis_30_30.pdf(x4), 'm-', lw=2, label='F(30, 30)') 24 ax.plot(x6, f_dis_30_100.pdf(x6), 'c-', lw=2, label='F(30, 100)') 25 ax.plot(x5, f_dis_100_100.pdf(x5), 'y-', lw=2, label='F(100, 100)') 26 27 plt.ylabel('Probability') 28 plt.title(r'PDF of f Distribution') 29 ax.legend(loc='best', frameon=False) 30 plt.savefig('f_diff_pdf.png', dip=500) 31 plt.show() 32 33 diff_f_dis()
3.4 分位數的計算
參考1.4
4. 三大抽樣分布之間的聯系
下面這個例子，可以展示這三大抽樣分布於標准正態分布的聯系，以及它們自身之間的聯系：
$X, Y, Z$相互獨立，且都服從$N(0, 1)$分布，那么：
- $X^2 + Y^2 + Z^2 \sim \chi^2(3)$
- $\frac{X} {\sqrt{(Y^2 + Z^2)/2}} \sim t(2)$
- $\frac{2X^2} {Y^2 + Z^2} \sim F(1, 2)$
- 若$t \sim t(n)$，那么$t^2 \sim F(1, n)$
圖9，三類抽樣分布於標准正態分布之間的比較
從圖9可以看到，t分布和標准正態分布都是左右對稱的，偏度為0（偏度為0也可能不對稱），但是卡方分布和F分布都不對稱，呈正偏態（右側的尾部更長，分布的主體集中在左側）。
圖9的Python代碼如下：
1 def three_sampling_dis(): 2 """ 3 三大抽樣分布與標准正態分布 4 :return: 5 """ 6 nor_dis = stats.norm() 7 chi2_dis = stats.chi2(df=4) 8 t_dis = stats.t(df=5) 9 f_dis = stats.f(dfn=30, dfd=5) 10 11 x1 = np.linspace(nor_dis.ppf(0.001), nor_dis.ppf(0.999), 1000) 12 x2 = np.linspace(chi2_dis.ppf(0.001), chi2_dis.ppf(0.999), 1000) 13 x3 = np.linspace(t_dis.ppf(0.001), t_dis.ppf(0.999), 1000) 14 x4 = np.linspace(f_dis.ppf(0.001), f_dis.ppf(0.999), 1000) 15 fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(16, 8)) 16 ax.plot(x1, nor_dis.pdf(x1), 'r-', lw=2, label=r'N(0, 1)') 17 ax.plot(x2, chi2_dis.pdf(x2), 'g-', lw=2, label=r'$\chi^2$(4)') 18 ax.plot(x3, t_dis.pdf(x3), 'b-', lw=2, label='t(5)') 19 ax.plot(x4, f_dis.pdf(x4), 'm-', lw=2, label='F(30, 10)') 20 21 plt.ylabel('Probability') 22 plt.title(r'PDF of Three Sampling Distribution') 23 ax.legend(loc='best', frameon=False) 24 plt.savefig('diff_dist_pdf.png', dip=500) 25 plt.show() 26 27 three_sampling_dis()
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Reference
http://www.auburn.edu/~zengpen/teaching/table-chisq.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution
http://mathworld.wolfram.com/F-Distribution.html
https://math.stackexchange.com/questions/1087106/find-the-mean-and-the-variance-of-an-f-random-variable-with-r-1-and-r-2-degr
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BA%A6
中國大學MOOC：浙江大學&哈工大，概率論與數理統計