歐幾里得算法（輾轉相除法） 證明及復雜度分析

 

歐幾里得算法核心：

gcd( a , b ) = gcd( b , a%b ) ，其中 gcd 表示 a 和 b 的最大公約數；

證明：

設 a 和 b 的最大公約數為 c ；
則有 c = gcd( a , b ) ;
設 a = x * c , b = y * c , 其中 x 與 y 互質 （因為 c 是最大公約數）
設 g = a%b = a - i * b = (x - i * y ) * c , 其中 i = [ a / b ] ,向下取整 ；
又 b = y * c ， 且易得 x - i * y 與 y 互質；（下面會證明）
則有 b 與 g 的最大公約數為 c ,
又 g = a%b，
則 gcd( a, b ) = gcd( b , a%b );

接下來，證明 x - i * y 與 y 互質 ,
反證法：
設 x - i * y 與 y 不互質；
則 x - i * y 與 y 存在最大公約數 k ( k>1 ) ;
設 x - i * y = n * k, y = m * k, 其中 n 和 m 互質；
把 y = m * k, 代入 x 中 得：
x = (n + i * m ) * k
又 y = m * k ,
故 x 與 y 不互質 ，與 上述證明矛盾（前面設x，y是互質的）；
所以 x - i * y 與 y 互質 ；

證畢；

gcd( a , b ) = gcd( b , a%b )，求解 a、b 的最大公約數 ，化為 求解b 、a%b 的最大公約數；

符合遞歸 大問題化成小問題 求解的特性（也可以用循環求解） ;

當前遞歸到 a%b == 0時（b 整除 a）， 即 下一次遞歸的 b‘ = 0;

下一次遞歸 的 a’ ，即為當前層 的 b，為最大公約數；

掛代碼

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

 

復雜度分析

若 a=b, 那么最大公約數就是b ;
若 a < b , 那么 經過一次操作后 gcd(a ,b) = gcd( b, a%b) = gcd( b , a );
此時， a’ = b, b’ = a % b , a’ > b’ ;

則還是來看 a > b 的情況：

1. a < 2 * b :
   設 a = 2k (乘號省略)，b = k + m (0<m<k);
   第一次操作 變為 gcd( k+m , k-m ) ; // ( a%b = a - i b )
   第二次操作 變為 gcd( k-m, r ) , r = (k+m)%(k-m) < k-m ;
   k-m < k = a/2;
   即兩次操作 數據量 最差變為原來的一半，所以復雜度為 O(2logN) ;
2. a > 2 * b :
   設 a = 2k (乘號省略)，b = k - m (0<m<k);
   第一次操作就 變為 gcd (k-m, 2k%(k-m) );
   數據量變為原來一半；
3. a=2 * b
   最大公約數就是 max( b , 2) ;

綜上，最壞時間復雜度 約為 O(2logN) ,去掉常數即為 O(logN) , 底數為 2；