輾轉相除法是用來計算兩個整數的最大公約數。假設兩個整數為a和b，他們的公約數可以表示為gcd(a,b)。如果gcd(a,b) = c,則必然a = mc和b = nc。a除以b得商和余數，余數r可以表示為r = a - bk，k這里是系數。因為c為 a和b的最大公約數，所以c也一定是r的最大公約數，因為r = mc - nck = (m-nk)c。
因此gcd(a,b) = gcd(b,r)，相當於把較大的一個整數用一個較小的余數替換了，這樣不斷地迭代，直到余數為0，則找到最大公約數。
舉例兩個整數為1071和462：
第一步：1071 / 462 = 2 * 462 + 147
第二步：462 / 147 = 3 * 147 + 21
第三步：147 / 21 = 7 * 21 + 0
此時余數為零，則21為兩個數的最大公約數。
貝祖公式表明對於任意兩個整數a和b，都可以找到一對可為負的整數x和y，可以使等式xa + yb = m，其中m為a和b的最大公約數，合理性稍加思考可得。如果m為1說明a和b互素。所以在互素的情況下，xa + yb = 1。這個等式對於求乘法逆元有很大的幫助。
那么如何通過貝祖公式及擴展歐幾里得算法來求乘法逆元呢？舉一個例子來描述什么是乘法逆元。如果ab mod m = 1，或者可以表示為ab ≡ 1 mod m，這里b就是a關於模數m的乘法逆元。計算乘法逆元的方法就是擴展歐幾里得算法，以下通過一個例子來幫助理解：
假設我們要求3 關於模26的乘法逆元(隱含了3和26的最大公約數為1，即互素)。當a = 3，b = 26，則根據貝祖公式，存在整數x和y，3x + 26y = 1。
思路就是等號兩邊同時mod 26，等式則變成(3x + 26y) mod 26 = 1 mod 26，根據模運算的性質(a + b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m。
所以展開等式(3x mod 26 + 26y mod 26) mod 26 = 1 mod 26。化簡最終得到(3x mod 26) mod 26 = 1 mod 26。我們發現3x mod 26 = 1正好符合了乘法逆元的定義，所以歐幾里得算法就是解x的關鍵。
下面將通過輾轉相除法來求x：
第一步：26 = 3 * 8 + 2
第二步：3 = 2 * 1 + 1
統一將余數換到等號左邊：
2 = 26 - 3 * 8
1 = 3 - 2 * 1
將第一行的2替換到第二行，保證等式左邊永遠為1，等式右邊變成僅由3x + 26y組成。
1 = 3 - (26 - 3 * 8) * 1 = 3 * 9 + (-1) * 26
可得x = 9
最后9就是3關於模26的乘法逆元。它可以應用於仿射加密。
附：仿射加密的公式e(x) = ax + b mod m， 其中a與m互素， b為移動距離。
仿射解密公式d(x) = a-1(x - b) mod m
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