輾轉相除法

2018-03-11 17:39:22

一、輾轉相除法

在數學中，輾轉相除法，又稱歐幾里得算法（英語：Euclidean algorithm），是求最大公約數的算法。

證明：

記gcd(a, b) = d

r = a - bk，r 是b對a的余數，由於a是d的倍數，b是d的倍數，k是整數，那么r必是d的倍數。

因此gcd(a, b) == gcd(b, a % b)

    private int gcd(int x, int y) {
        return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
    }

 

二、擴展歐幾里得 / 貝祖定理

定理：等式 ax + by = c (其中a，b，c均是整數）存在整數解的充要條件是c % gcd(a, b) == 0，也就是說c是a，b最大公約數的倍數。

證明：

記gcd(a, b) = d

輾轉相除的過程如下

a / b = s₁ ... r₁

b / r₁ = s₂ ... r₂

r₁ / r₂ = s₃ ... r₃

...

r_{n - 1} / r_n = s_{n + 1} ... r_{n + 1}

r_n / r_{n + 1} = s_{n + 2} ... d

現在開始反代，

 

d = r_n - r_{n + 1} * s_{n +2}

此時，d是可以通過r_n，r_{n + 1}組合得到。

將r_{n + 1}消掉

d = r_n - (r_{n - 1} - r_n  * s_{n + 1}) 

此時，d是可以通過r_{n - 1}，r_n 組合得到。

同理消除，最后d可以通過a，b組合得到。

 

三、Water and Jug Problem

問題描述：

有兩個容量分別為 x升 和 y升 的水壺以及無限多的水。請判斷能否通過使用這兩個水壺，從而可以得到恰好 z升 的水？

如果可以，最后請用以上水壺中的一或兩個來盛放取得的 z升 水。

你允許：

裝滿任意一個水壺
清空任意一個水壺
從一個水壺向另外一個水壺倒水，直到裝滿或者倒空
示例 1: (From the famous "Die Hard" example)

輸入: x = 3, y = 5, z = 4
輸出: True

示例 2:

輸入: x = 2, y = 6, z = 5
輸出: False

問題求解：

如果單純的去思考兩個杯子之間的倒來倒去，那么問題就會變得非常復雜。有一種簡化思路是，考慮有一個大的杯子，而x，y只是向大杯子中添加或者取出水，如果最終大杯子中數目等於給定的數，那么返回true。

其實就是尋找z = ax + by等式是否有解，也就是規約到了裴蜀定理的概念中，只需要判斷z % gcd(x, y)即可。

    public boolean canMeasureWater(int x, int y, int z) {
        if (x + y < z) return false;
        if (x == z || y == z || x + y == z) return true;
        return z % gcd(x, y) == 0;
    }
    
    private int gcd(int x, int y) {
        return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
    }