1.基本定義
設$$h=\left(h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{n}\right)$$
如果\[f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} h_{i}+o(\|h\|), \quad\|h\| \rightarrow 0 \]其中\(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\)不依賴於h，那么f在\(x_0\)處可微,並記
\[\mathrm{d} f\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} h_{i} \]若f在D上每一點都可微，則稱f是D上的可微函數，顯然，微分是關於\(x_i\)的齊次線性函數
兩式結合又可以寫出$$f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=d f\left(x_{0}\right)+o(|h|),|h| \rightarrow 0$$
2.Notice
2-1方向導數和可微的一個小討論
方向導數和可微之間容易引發人自然的聯想，是否方向導數都存在，那么就可微呢？答案是否定的
首先，由於方向導數是一個反向會引起改變的量，方向導數甚至連偏微分都推不出來。。。
那是否假設一個函數方向導數放向改變不變就可以推出可微了呢？
當然不是了，在后面有一個關於連續性（4-2）的討論，借助他我們就能構造一個反例來，譬如一個函數，\(x_0\)處\(f(x)-x\)的圖像各個方向都是一條射線且他們又不構成面的話，就很容易得到不對的反例來。
2-2\(\lambda_i\)的意義
接下來說明\({\lambda}_i\)的意義，在固定了\(n-1\)個變量后，對比偏導數或者方向導數，即可以發現，\(\lambda_i\)就是f在\(z_0\)處關於\(x_i\)的偏導數，也就是說
\[\lambda_{i}=D_{i} f\left(x_{0}\right) \]同時也就有$$\operatorname{df}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f\left(x_{0}\right)}{\partial x_{i}} h_{i}$$
3.可微推論
此時顯然的結論是，可微能推出f在\(z_0\)處一階偏導數全部存在
且，可微能推出連續來。
這兩個推論是不可逆的，由於例子
\(f(\boldsymbol{p})=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{x y}{x^{2}+y^{2}},} & {p=(x, y) \neq(0,0)} \\ {0,} & {p=(0,0)}\end{array}\right.\)
3.Jacobi矩陣定義
定義函數（算子）
\[J f(x)=\left(D_{1} f(x), D_{2} f(x), \cdots, D_{n} f(x)\right) \]並稱它為f在x處的Jacobi矩陣，J也就相當於梯度算子
3-1.微分，方向導數rewrite
至此，具備了引入矩陣來更加和諧的基礎。
現在認為空間內的點均為列向量，
\(\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right)\) \(h=\left(\begin{array}{c}{h_{1}} \\ {h_{2}} \\ {\vdots} \\ {h_{h}}\end{array}\right)\)
我們知道了可微分，但是這是一個不太好看的形式，觀察到其實\(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} h_{i}\)恰好可以看作一個行向量和一個列向量相乘，也就是\(d f\left(x_{0}\right)=J f\left(x_{0}\right) h ,這樣我們發現求方向導數，變成了一個求偏微分的過程，也就是說在知道了偏微分和方向以后，就可以求方向導數，對於可微函數，求所有的方向導數問題，簡化成了求偏微分問題\)沿着\(\overrightarrow{u}\)的方向導數可以寫成\(\nabla f(x_0)\cdot \overrightarrow{u}\)
3-2.probable thoughts
你可能會這樣想，“其實在這個過程中損失的東西很多的”，也就是說求方向導數憑什么能與求偏微分等價，可微分是一個這么強的條件嗎？
是的，可微分的強大其實是在定義里給出的，這個定義等價於\(f(x)-x\)在\(x_0\)有一個廣義切面，而你很容易就能知道，其實這個面，兩條直線就能確定了。。。，
所以可微對比我們之前的方向導數弱的多
4.可微的相關proposition
4-1.等價表述
在\(x_0\)處可微等價於對以下等式
\[f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=J f\left(x_{0}\right) h+\sum_{i=1}^{n} \beta_{i}(h) h_{i} \]當\(\|\boldsymbol{h}\| \rightarrow 0\)時，$$\beta_{i}(\boldsymbol{h}) \rightarrow 0, i=1,2, \cdots, n$$
4-2.充分條件
設開集\(D \subset \mathbf{R}^{n}\),函數\(f: \ D\to R\),If for all \(i\) from 1 to n and \(x_0 \in D\), \(D_i\) \(D_i f(x_0)\)exists in a neightboorhood of \(x_0\) and is continuous on \(x_0\), then \(f\) is differentialle on \(x_0\)
4-2.1由此引出的定義
如果f的偏導數在D中都連續，就說f在D上連續可微
