1.基本定义
设$$h=\left(h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{n}\right)$$
如果\[f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} h_{i}+o(\|h\|), \quad\|h\| \rightarrow 0 \]其中\(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\)不依赖于h，那么f在\(x_0\)处可微,并记
\[\mathrm{d} f\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} h_{i} \]若f在D上每一点都可微，则称f是D上的可微函数，显然，微分是关于\(x_i\)的齐次线性函数
两式结合又可以写出$$f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=d f\left(x_{0}\right)+o(|h|),|h| \rightarrow 0$$
2.Notice
2-1方向导数和可微的一个小讨论
方向导数和可微之间容易引发人自然的联想，是否方向导数都存在，那么就可微呢？答案是否定的
首先，由于方向导数是一个反向会引起改变的量，方向导数甚至连偏微分都推不出来。。。
那是否假设一个函数方向导数放向改变不变就可以推出可微了呢？
当然不是了，在后面有一个关于连续性（4-2）的讨论，借助他我们就能构造一个反例来，譬如一个函数，\(x_0\)处\(f(x)-x\)的图像各个方向都是一条射线且他们又不构成面的话，就很容易得到不对的反例来。
2-2\(\lambda_i\)的意义
接下来说明\({\lambda}_i\)的意义，在固定了\(n-1\)个变量后，对比偏导数或者方向导数，即可以发现，\(\lambda_i\)就是f在\(z_0\)处关于\(x_i\)的偏导数，也就是说
\[\lambda_{i}=D_{i} f\left(x_{0}\right) \]同时也就有$$\operatorname{df}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f\left(x_{0}\right)}{\partial x_{i}} h_{i}$$
3.可微推论
此时显然的结论是，可微能推出f在\(z_0\)处一阶偏导数全部存在
且，可微能推出连续来。
这两个推论是不可逆的，由于例子
\(f(\boldsymbol{p})=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{x y}{x^{2}+y^{2}},} & {p=(x, y) \neq(0,0)} \\ {0,} & {p=(0,0)}\end{array}\right.\)
3.Jacobi矩阵定义
定义函数（算子）
\[J f(x)=\left(D_{1} f(x), D_{2} f(x), \cdots, D_{n} f(x)\right) \]并称它为f在x处的Jacobi矩阵，J也就相当于梯度算子
3-1.微分，方向导数rewrite
至此，具备了引入矩阵来更加和谐的基础。
现在认为空间内的点均为列向量，
\(\boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right)\) \(h=\left(\begin{array}{c}{h_{1}} \\ {h_{2}} \\ {\vdots} \\ {h_{h}}\end{array}\right)\)
我们知道了可微分，但是这是一个不太好看的形式，观察到其实\(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} h_{i}\)恰好可以看作一个行向量和一个列向量相乘，也就是\(d f\left(x_{0}\right)=J f\left(x_{0}\right) h ,这样我们发现求方向导数，变成了一个求偏微分的过程，也就是说在知道了偏微分和方向以后，就可以求方向导数，对于可微函数，求所有的方向导数问题，简化成了求偏微分问题\)沿着\(\overrightarrow{u}\)的方向导数可以写成\(\nabla f(x_0)\cdot \overrightarrow{u}\)
3-2.probable thoughts
你可能会这样想，“其实在这个过程中损失的东西很多的”，也就是说求方向导数凭什么能与求偏微分等价，可微分是一个这么强的条件吗？
是的，可微分的强大其实是在定义里给出的，这个定义等价于\(f(x)-x\)在\(x_0\)有一个广义切面，而你很容易就能知道，其实这个面，两条直线就能确定了。。。，
所以可微对比我们之前的方向导数弱的多
4.可微的相关proposition
4-1.等价表述
在\(x_0\)处可微等价于对以下等式
\[f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=J f\left(x_{0}\right) h+\sum_{i=1}^{n} \beta_{i}(h) h_{i} \]当\(\|\boldsymbol{h}\| \rightarrow 0\)时，$$\beta_{i}(\boldsymbol{h}) \rightarrow 0, i=1,2, \cdots, n$$
4-2.充分条件
设开集\(D \subset \mathbf{R}^{n}\),函数\(f: \ D\to R\),If for all \(i\) from 1 to n and \(x_0 \in D\), \(D_i\) \(D_i f(x_0)\)exists in a neightboorhood of \(x_0\) and is continuous on \(x_0\), then \(f\) is differentialle on \(x_0\)
4-2.1由此引出的定义
如果f的偏导数在D中都连续，就说f在D上连续可微
