前言
在數學中，三點共線的給出方式有以下幾種： 其中向量的表示形式比較難理解，以下用圖形幫助我們理解；
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向量表示形式：\(\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\) 或\(\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC}\)
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距離表示形式：\(|AB|+|BC|=|AC|\)
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斜率表示形式:\(k_{AB}=k_{AC}\)
定理內容
【源題】已知\(\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}\)，其中\(\lambda+\mu=1\)，求證：\(A、B、C\)三點共線；
思路：通過向量共線(如\(\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC}\))，得三點共線；
證明：如圖，由\(\lambda+\mu=1\)，得到\(\mu=1-\lambda\)，
又由於\(\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}\)，
即\(\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\)，
則\(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\lambda(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})\)
即\(\overrightarrow{BC}=\lambda \overrightarrow{BA}\)，
故\(A、B、C\)三點共線；
解后反思：
1、此題揭示了證明三點共線的又一個向量方法，點\(O\)的位置可以任意選擇，具有靈活性。
2、其逆命題也成立，即若\(A、B、C\)三點共線，則存在唯一實數對\(\lambda\)、\(\mu\)，滿足\(\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}\)，且\(\lambda+\mu=1\)；
3、\(\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\)是\(A、B、C\)三點共線的【充要條件】。
4、特例，當\(\lambda=\mu=\cfrac{1}{2}\)時，\(\overrightarrow{OC}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)，則點\(C\)為\(\overrightarrow{AB}\)的中點，揭示了\(\triangle OAB\)的中線\(OC\)的一個向量公式，應用很廣泛；
圖形解釋
為什么必須\(k=1\)? \(\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{OA}+(k-t)\overrightarrow{OB}\)
圖形語言：
如果\(k>1\)會怎么樣呢？比如\(k=1.5\)；\(\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{OA}+(k-t)\overrightarrow{OB}\)；
如果\(k<1\)又會怎么樣呢？ 比如\(k=0.5\)；\(\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{OA}+(k-t)\overrightarrow{OB}\)；
- 總結：當\(k=1\)時，三點共線；當\(k\neq 1\)時，三點不共線，但是點\(C\)的軌跡會和直線\(AB\)平行。
引申
當\(\overrightarrow{OC}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}\)，當參數\(\alpha\)和\(\beta\)沒有關系時，即意味着，用\(\overrightarrow{OA}\)和\(\overrightarrow{OB}\)為基向量，可以表示此平面內的所有向量。
定理應用
分析：選擇點\(B\)，只需要證明\(\overrightarrow{BN}=\lambda \overrightarrow{BM}+\mu \overrightarrow{BC}\)，且\(\lambda+\mu=1\)；
證明：由已知\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\)，又點\(N\)在\(BD\)上，且\(BN=\cfrac{1}{3}BD\)，
則\(\overrightarrow{BN}=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}=\cfrac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\cfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)，
又點\(M\)是\(AB\)的中點，則\(\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BM}\)，
則\(\overrightarrow{BN}=\cfrac{2}{3}\overrightarrow{BM}+\cfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)，
而\(\cfrac{1}{3}+\cfrac{2}{3}=1\)，故\(M、N、C\)三點共線。
分析：借助向量知識，只須證明\(\overrightarrow{BE}=\cfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}\)，而\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BC}\)，又\(O、D、E\)三點共線，存在唯一實數對\(\lambda\)，\(\mu\)，且\(\lambda+\mu=1\)，使\(\overrightarrow{BE}=\lambda \overrightarrow{BO}+\mu \overrightarrow{BD}\)，從而得到\(\overrightarrow{BE}\)與\(\overrightarrow{BA}\)的關系。
證明：由已知條件，\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BC}\)，又\(B、E、A\)三點共線，可設\(\overrightarrow{BE}=k\overrightarrow{BA}\)，
則\(\overrightarrow{BE}=k\overrightarrow{BO}+k\overrightarrow{BC}①\)，
又\(O、D、E\)三點共線，存在唯一實數對\(\lambda\)，\(\mu\)，且\(\lambda+\mu=1\)，使\(\overrightarrow{BE}=\lambda \overrightarrow{BO}+\mu \overrightarrow{BD}\)，
又\(\overrightarrow{BD}=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)，
則\(\overrightarrow{BE}=\lambda \overrightarrow{BO}+\cfrac{1}{3}\mu\overrightarrow{BC}②\)，
根據①②可得，
\(\left\{\begin{array}{l}{k=\lambda}\\{k=\cfrac{1}{3}\mu}\\{\lambda+\mu=1}\end{array}\right.\quad\) 解得\(\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{\lambda=\frac{1}{4}}\\{\mu=\frac{3}{4}}\end{array}\right.\)
故\(\overrightarrow{BE}=\cfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}\)，即\(BE=\cfrac{1}{4}BA\)；
解后反思：借助向量知識，充分運用三點共線的向量性質和同一法解決問題，巧妙、簡潔。