共線方程、旋轉矩陣、轉移向量等攝影測量知識綜合

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                   https://blog.csdn.net/fireflychh/article/details/82352710

先驗知識：

（1）內方位元素：表示攝影中心與像片之間相關位置（姿態）的參數，共三個參數：

　　1)攝影中心s到像片的垂距；

　　2)像主點O在框標坐標系中的坐標（x₀ , y₀);

　　外方位元素：攝影中心在物方坐標系中的三維坐標和姿態（共6個參數）；

（2）四個坐標系：

　　1）框標坐標系：二維像平面坐標系；

　　2）像空間坐標系：Z軸垂直於二維像平面，X、Y軸平行於框標坐標系的X、Y軸；

　　3）像空間輔助坐標系（像輔坐標系）；

　　4）大地坐標系，也稱物方坐標系：該坐標系與上面的像輔坐標系X、Y、Z軸均平行，只是原點位置不同，上者的原點在攝影中心（相機中心），該坐標系的原點在物體中心；

示意圖如下：

如上圖：（X_tp , Y_tp , Z_tp）是物方坐標系，（X , Y , Z）是像輔坐標系，（x , y , z）是像空間坐標系，s是相機中心，a是物體A在像平面上的成像點；

1）（X_A , Y_A , Z_A）：A點物方坐標；

2）（X_S , Y_S , Z_S）：S點物方坐標；

3）（x , y , -f）：a點像空坐標；

4）（X , Y , Z）：a點像輔坐標；

另外，，其中為相機中心到物體中心的距離，f是相機的焦距；

現在我們先來證明共線方程：

在證明共線方程之前，我們需要縣引入旋轉矩陣（rotation matrix）這個概念，可以參考 https://blog.csdn.net/fireflychh/article/details/82352710

 詳細解釋如下：

注意：對於上面的旋轉角度，我們規定：令右手大拇指指向旋轉軸的正向，則其他手指彎曲的方向為旋轉角度的正方向；

然后我們也順便引入translation vector的概念（即轉移向量），我們令：

1）T_o-c：物體中心在像空坐標系中的坐標；

2）T_c-o：攝影中心（相機中心）在物方坐標系中的坐標；

然后來證明共線方程：

下面引入一個比較實用的公式，可以實現從物方坐標系到二維像平面坐標系的轉換！如下：

還有幾點補充的：

（1）opencv中的兩個函數：

　　1）cv::projectPoints(object_points2, rotation_matrix, translate_T, intrinsic_matrix, distortion_coeffs, pts_proj);  

　　2）solvePnP()

第一個函數是給定rotation_matrix和translate_T，可以計算出物方坐標投影到對應的像坐標，第二個函數是計算出rotation_matrix和translate_T，它們均為T_o-c , R_o-c；

 （2）一些基本的圖像變換矩陣（平移、縮放、旋轉）：