歐拉角與旋轉矩陣

本文轉載自查看原文 2022-02-23 15:51 1582 相機圖像算法原理

一、歐拉角與旋轉矩陣

1、歐拉角的定義
定義一個歐拉角，需要明確下面5條：

1.三個旋轉角的組合方式
2.旋轉角度的參考坐標系統（旋轉是相對於固定的坐標系還是相對於自身的坐標系）
3.使用旋轉角度是左手系還是右手系
4.三個旋轉角的記法
5.主動旋轉還是被動旋轉
1.1 表示旋轉的歐拉角旋轉順序有12種

Proper/classic Euler angle
z-x-z，x-y-x，y-z-y，z-y-z, x-z-x，y-x-y
Tait-Bryan angle（也稱作：Cardan angles; nautical angles; heading、elevation、bank; yaw、pitch、rooll）
x-y-z，y-z-x，z-x-y，x-z-y，z-y-x，y-x-z

Proper/classic Euler angle說明這些角度並不是獨立的，例如當下面的旋轉組合：先繞x軸旋轉90度，再繞y軸旋轉90度，最后繞x軸旋轉-90度，
這一些列組合得到的效果與只繞z軸旋轉-90度是一樣的。
也就是說我們僅僅在2個平面上進行旋轉（其中一個平面上必須進行兩次旋轉）就可以得到任意的三維旋轉！

1.2 內在旋轉(intrinsic rotations)和外在旋轉(extrinsic rotations)
內在旋轉每次旋轉圍繞的軸是上次旋轉之后坐標系的某個軸，外在旋轉每次旋轉的軸是固定坐標系中的軸。內在旋轉與外在旋轉的轉換關系：
互換第一次和第三次旋轉的位置則兩者結果相同。例如Z-Y-X旋轉的內部旋轉和X-Y-Z旋轉的外部旋轉的旋轉矩陣相同：

Fig.2外在旋轉

1.3 使用旋轉角度是左手系還是右手系

使用右手的大拇指指向旋轉軸，其他4個手指在握拳過程中的指向便是正的角度

右手系是逆時針
左手系是順時針

1.4 主動旋轉和被動旋轉

主動旋轉是指將向量逆時針圍繞旋轉軸旋轉，被動旋轉是對坐標軸進行的逆時針旋轉，相當於主動旋轉的逆操作

2、不同軸的歐拉角轉換成旋轉矩陣

給出逆時針旋轉的角度為正時（與右手系旋轉方向相同的為旋轉正方向），繞不同軸的旋轉結果：

3、旋轉的本質

4、內部旋轉（Z-Y-X）對應的旋轉矩陣

5、為什么內部旋轉（`Z-Y-X`）和外部旋轉（`X-Y-Z`）對應的旋轉矩陣是相同的

6.相機坐標系中歐拉角與旋轉矩陣的關系

對於兩個三維點 $p_1(x_1,y_1,z_1)$ ， $p_2(x_2,y_2,z_2)$ ，由點 $p_1$ 經過旋轉矩陣 $R$ 旋轉到 $p_2$ ，則有：

$R=\begin{bmatrix}r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix} = R\begin{bmatrix}x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix}$

任何一個旋轉可以表示為依次繞着三個旋轉軸旋三個角度的組合。這三個角度稱為歐拉角。對於在三維空間里的一個參考系，任何坐標系的取向，都可以用三個歐拉角來表現，

如下圖（藍色是起始坐標系，而紅色的是旋轉之后的坐標系）：

R_x({\theta}) =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta \\0 & sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}

R_y({\theta}) =\begin{bmatrix}cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{bmatrix}

R_z({\theta}) =\begin{bmatrix}cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

因此歐拉角轉旋轉矩陣如下：
$R =R_z(\phi)R_y(\theta)R_x(\psi)=\begin{bmatrix} cos\theta cos\phi & sin\psi sin\theta cos\phi - cos\psi sin\theta & cos \psi sin\theta cos\phi +sin\psi sin\phi \\cos\theta sin\phi & sin\psi sin\theta sin\phi+cos\psi cos\phi & cos\psi sin\theta sin\phi -sin\psi cos\theta \\ -sin\theta & sin\psi cos\theta & cos\psi cos\theta\end{bmatrix}$
則可以如下表示歐拉角：
$\theta_x=atan2(r_{32},r_{33})$
$\theta_y=atan2(-r_{31},\sqrt{r_{32}^2+r_{33}^2})$
$\theta_z=atan2(r_{21},r_{11})$

轉自： https://blog.csdn.net/hzwwpgmwy/article/details/101547949

https://www.jianshu.com/p/5e130c04a602

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