前言
在数学中，三点共线的给出方式有以下几种： 其中向量的表示形式比较难理解，以下用图形帮助我们理解；
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向量表示形式：\(\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\) 或\(\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC}\)
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距离表示形式：\(|AB|+|BC|=|AC|\)
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斜率表示形式:\(k_{AB}=k_{AC}\)
定理内容
【源题】已知\(\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}\)，其中\(\lambda+\mu=1\)，求证：\(A、B、C\)三点共线；
思路：通过向量共线(如\(\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC}\))，得三点共线；
证明：如图，由\(\lambda+\mu=1\)，得到\(\mu=1-\lambda\)，
又由于\(\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}\)，
即\(\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\)，
则\(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\lambda(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})\)
即\(\overrightarrow{BC}=\lambda \overrightarrow{BA}\)，
故\(A、B、C\)三点共线；
解后反思：
1、此题揭示了证明三点共线的又一个向量方法，点\(O\)的位置可以任意选择，具有灵活性。
2、其逆命题也成立，即若\(A、B、C\)三点共线，则存在唯一实数对\(\lambda\)、\(\mu\)，满足\(\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}\)，且\(\lambda+\mu=1\)；
3、\(\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\)是\(A、B、C\)三点共线的【充要条件】。
4、特例，当\(\lambda=\mu=\cfrac{1}{2}\)时，\(\overrightarrow{OC}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)，则点\(C\)为\(\overrightarrow{AB}\)的中点，揭示了\(\triangle OAB\)的中线\(OC\)的一个向量公式，应用很广泛；
图形解释
为什么必须\(k=1\)? \(\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{OA}+(k-t)\overrightarrow{OB}\)
图形语言：
如果\(k>1\)会怎么样呢？比如\(k=1.5\)；\(\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{OA}+(k-t)\overrightarrow{OB}\)；
如果\(k<1\)又会怎么样呢？ 比如\(k=0.5\)；\(\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{OA}+(k-t)\overrightarrow{OB}\)；
- 总结：当\(k=1\)时，三点共线；当\(k\neq 1\)时，三点不共线，但是点\(C\)的轨迹会和直线\(AB\)平行。
引申
当\(\overrightarrow{OC}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}\)，当参数\(\alpha\)和\(\beta\)没有关系时，即意味着，用\(\overrightarrow{OA}\)和\(\overrightarrow{OB}\)为基向量，可以表示此平面内的所有向量。
定理应用
分析：选择点\(B\)，只需要证明\(\overrightarrow{BN}=\lambda \overrightarrow{BM}+\mu \overrightarrow{BC}\)，且\(\lambda+\mu=1\)；
证明：由已知\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\)，又点\(N\)在\(BD\)上，且\(BN=\cfrac{1}{3}BD\)，
则\(\overrightarrow{BN}=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}=\cfrac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\cfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)，
又点\(M\)是\(AB\)的中点，则\(\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BM}\)，
则\(\overrightarrow{BN}=\cfrac{2}{3}\overrightarrow{BM}+\cfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)，
而\(\cfrac{1}{3}+\cfrac{2}{3}=1\)，故\(M、N、C\)三点共线。
分析：借助向量知识，只须证明\(\overrightarrow{BE}=\cfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}\)，而\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BC}\)，又\(O、D、E\)三点共线，存在唯一实数对\(\lambda\)，\(\mu\)，且\(\lambda+\mu=1\)，使\(\overrightarrow{BE}=\lambda \overrightarrow{BO}+\mu \overrightarrow{BD}\)，从而得到\(\overrightarrow{BE}\)与\(\overrightarrow{BA}\)的关系。
证明：由已知条件，\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BC}\)，又\(B、E、A\)三点共线，可设\(\overrightarrow{BE}=k\overrightarrow{BA}\)，
则\(\overrightarrow{BE}=k\overrightarrow{BO}+k\overrightarrow{BC}①\)，
又\(O、D、E\)三点共线，存在唯一实数对\(\lambda\)，\(\mu\)，且\(\lambda+\mu=1\)，使\(\overrightarrow{BE}=\lambda \overrightarrow{BO}+\mu \overrightarrow{BD}\)，
又\(\overrightarrow{BD}=\cfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)，
则\(\overrightarrow{BE}=\lambda \overrightarrow{BO}+\cfrac{1}{3}\mu\overrightarrow{BC}②\)，
根据①②可得，
\(\left\{\begin{array}{l}{k=\lambda}\\{k=\cfrac{1}{3}\mu}\\{\lambda+\mu=1}\end{array}\right.\quad\) 解得\(\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{\lambda=\frac{1}{4}}\\{\mu=\frac{3}{4}}\end{array}\right.\)
故\(\overrightarrow{BE}=\cfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}\)，即\(BE=\cfrac{1}{4}BA\)；
解后反思：借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质和同一法解决问题，巧妙、简洁。