一、最大子列和問題
給定\(N\)個整數的序列\({A_1,A_2,\dots,A_N}\)，求函數\(f(i,j)=max\{0,\sum_{k=I}^jA_K\}\)的最大值。
序列中有多個子列，我們需要從中找出子列和最大的子列。
1.1 算法1-暴力破解
/* c語言實現 */
int MaxSubseqSum1(int A[], int N)
{ int ThisSum, MaxSum = 0;
int i, j, j;
for(i=0; i<N; i++){ /* i是子列左端位置 */
for (j=i; j<N; j++){ /* i是子列右端位置 */
ThisSum = 0; /* ThisSum是從A[i]到A[j]的子列和 */
for(k=i; k<=j; k++)
ThisSum += A[k];
if(ThisSum > MaxSum) /* 如果剛得到的這個子列和更大 */
MaxSum = ThisSum; /* 則更新結果 */
} /* j循環結束 */
} /* i循環結束 */
return MaxSum;
}
# python語言實現
def max_subseq_sum1(arr: list, n: int):
max_sum = 0
for i in range(n):
for j in range(i, n):
this_sum = 0
for k in range(i, j):
this_sum += arr[k]
if this_sum > max_sum:
max_sum = this_sum
時間復雜度：
\[T(n) = O(N^3) \]
當我們知道\(i-j\)的和之后，沒必要從頭開始加，對於k的循環是多余的。
1.2 算法2-適當優化
/* c語言實現 */
int MaxSubseqSum2(int A[], int N)
{ int ThisSum, MaxSum = 0;
int i, j, j;
for(i=0; i<N; i++){ /* i是子列左端位置 */
ThisSum = 0; /* ThisSum是從A[i]到A[j]的子列和 */
for (j=i; j<N; j++){ /* i是子列右端位置 */
ThisSum += A[k];
/* 對於相同的i，不同的j，只要在j-1次循環的基礎上累加1項即可 */
if(ThisSum > MaxSum) /* 如果剛得到的這個子列和更大 */
MaxSum = ThisSum; /* 則更新結果 */
} /* j循環結束 */
} /* i循環結束 */
return MaxSum;
}
# python語言實現
def max_subseq_sum2(arr: list, n: int):
max_sum = 0
for i in range(n):
this_sum = 0
for j in range(i, n):
this_sum += arr[k]
if this_sum > max_sum:
max_sum = this_sum
時間復雜度：
\[T(n) = O(N^2) \]
一個專業的程序猿，設計了一個\(O(N^2)\)的算法，應該本能的想到是否能把他改進為\(O(Nlog_N)\)的算法。
1.3 算法3-分而治之
先把數組從中間一分為二，遞歸的解決左半部分的問題，得到左邊的最大子列和；遞歸的解決右半部分的問題，得到右邊的最大子列和；解決跨越中間的最大子列和，從三者中取出最大的子列和，即為解。
時間復雜度：
\[\begin{align} T(n) & = 2T(N/2)+cN,\,\quad{T}(1)=O(1) \\ & = \text{注意$T(n)$和$T(N/2)$的轉換關系}\\ & = 2[2T(N/2^2)+cN/2]+cN \\ & = 2^kO(1)+ckN\quad\text{其中$N/2^k=1$，即$k=log_2N$} \\ & = O(NlogN) \end{align} \]
1.4 算法4-在線處理
由於連續子列和出現負數，往后加數字只會讓后面的數字越來越大，因此可以提前讓子列和歸零。
“在線”的意思是指每輸入一個數據就進行即時處理，在任何一個地方中止輸入，算法都能正確給出當前的解。
/* c語言實現 */
int MaxSubseqSum4(int A[], int N)
{ int ThisSum, MaxSum;
int i;
ThisSum = MaxSum = 0;
for(i=0; i<N; i++){
ThisSum += A[i]; /* 向右累加 */
if(ThisSum > MaxSum)
MaxSum = ThisSUm; /* 發現更大和則更新當前結果 */
else if(ThisSum < 0) /* 如果當前子列和為負 */
ThisSum = 0; /* 則不可能使后面的部分和增大，拋棄之 */
}
return MaxSum;
}
# python語言實現
def max_subseq_sum4(arr: list, n: int):
this_sum = max_sum = 0
for i in range(n):
this_sum += arr[i]
if this_sum > max_sum:
max_sum = this_sum
elif this_sum < 0:
this_sum = 0
時間復雜度：
\[T(N) = O(N) \]
由於時間復雜度較快，所以對於其他人理解是很困難的。
二、算法運行時間比較
