關於證明一個概率事件的期望次數

目錄

• 引入問題
• 問題求解與證明
  • 無限和式
  • 根據期望方程求解
  • 概率生成函數
• 總結

引入問題

如果一個事件 \(X\) 有 \(p \in [0, 1]\) 的概率成功，那么就有 \(1-p\) 的概率失敗，如果失敗了就再次執行 \(X\) 事件。問 \(X\) 事件期望的操作次數。

問題求解與證明

因為 \(p = 0\) 的時候，不存在成功的情況，所以不進行考慮。

對於 \(p \in (0, 1]\) 的時候，很容易知道期望的操作次數是 \(\displaystyle \frac{1}{p}\) ，那如何證明呢？

無限和式

有一種很顯然易見的解決辦法就是無限和式。

考慮枚舉在第幾次成功了，那么貢獻如下。

\[\begin{align} E_{X} &= \sum_{i = 0}^{\infty} (1 - p)^i~p ~(i + 1) \\ &= p~[\sum_{i = 0}^{\infty} (1 - p)^i~(i + 1)] \end{align} \]

不難發現 \((1 - p) \in [0, 1)\) 所以這個序列是一個收斂到 \(0\) 的無窮序列（因為 \(i + 1\) 的增長速度遠小與 \((1 - p)^i\) 的減小速度）

然后考慮這個式子如何求和，依然是擾動法。

令

\[\begin{align} S=\sum_{i = 0}^{\infty} (1 - p)^i~(i + 1) \end{align} \]

那么有

\[\begin{align} (1 - p)S&=\sum_{i = 1}^{\infty} (1 - p)^i~i\\ &=\sum_{i = 1}^{\infty} (1 - p)^i~(i + 1) - \sum_{i = 1}^{\infty} (1 - p)^i \end{align} \]

所以只需要求出

\[\begin{align} T&=\sum_{i = 1}^{\infty} (1 - p)^i\\ \end{align} \]

這個也是很容易通過擾動法求出的。（也可以套公式，然后 \(a_{\infty} \rightarrow 0\) 所以直接忽略就行）

\[\begin{align} (1 - p)T&=\sum_{i = 2}^{\infty} (1 - p)^i\\ \end{align} \]

\((6) - (7)\) 就有

\[\begin{align} pT&=1 - p\\ T&=\frac{1 - p}{p} \end{align} \]

然后 \((3)-(5)\) 就變為

\[\begin{align} pS&=1 + \frac{1 - p}{p} \\ p^2S &= p + 1 - p\\ S &= \frac{1}{p^2} \end{align} \]

所以最后的 \(E_{X}\) 為 \(\displaystyle p \times \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}\) ，證畢。

根據期望方程求解

Hometown 告訴了我一個很巧妙且簡短的做法。

可以設出一個期望方程為

\[\begin{align} E_X = p + (1 - p)(E_X + 1) \end{align} \]

其意義為有 \(p\) 的概率直接在這步成功，剩下 \(1 - p\) 的概率失敗，需要花費 \(E_X + 1\) 的期望成功。

那么就有

\[\begin{align} E_X &= p + E_X + 1 - pE_X - p\\ E_X &= \frac{1}{p} \end{align} \]

所以結論成立，證畢。

概率生成函數

看了 \(\text{YMDrangon}\) 論文后，意識到這個問題其實就是個經典的擲骰子問題，可以利用概率生成函數解決。

令 \(f_i\) 為結束時嘗試了 \(i\) 次的概率，其概率生成函數為 \(F(i)\) 。令輔助數列 \(g_i\) 為隨機序列長度達到 \(i\) 還未結束的概率，其普通生成函數為 \(G(i)\) 。

\[\begin{align} F(x) + G(x) &= 1 + xG(x)\\ G(x) (px) &= F(x) \end{align} \]

然后我們把 \((16)\) 兩邊求導並代入 \(x = 1\) 有 \(F'(1) = G(1)\) ，同樣把 \(x = 1\) 代入 \((17)\) 有 \(\displaystyle F'(1) = G(1) = \frac{1}{p}\) ，得證。

總結

其實不僅僅是針對這個經典模型來說，對於大部分無限期望的模型這兩種方法依然成立。

第一種方法，需要較為細致的數學推理以及對於無限和式的求值方法的掌握。

第二種求法，只需要精巧的列出方程求解就行了。

第三種求法，對於所有的擲骰子模型都有較大作用，並且擴展性較大比較推薦。

其實我就只是復習了一下無限和式的推導方法而已。。。數學課上無聊隨便推了一下。。

其實不會證明，大概率也是可以猜出結論的。

無限期望 or 概率如果是收斂的話，常常最后的表達式通常是十分精巧的，能用這三種方法進行推導和證明。