知識點: 概率與期望
知識歸類: 數學
胡言亂語·前言
作為一名前后2000萬的高清菜雞（亂入了抱歉）
之前考試遇到概率立即跳，感覺概率的題目都不可做。
今天來死磕概率與期望啦。
（可能概率與期望只是個開頭。以后會陸續復習一些數學知識。）
另外就是，我寫這東西自己復習用的哇，嚴謹性什么的……
0/1：定義
定義函數$P(A)$表示A事件發生的可能性大小，稱為概率測度。
則A是事件集合$F$的一個子集，並且所有事件$A$都可以看作是樣本空間$\Omega$的一個子集，那么合法的三元組$(\Omega,F,P)$被稱為概率空間。
好抽象啊不看不看。
$\Omega$：樣本空間。$F$：事件全集。$P$：概率函數。
$F$與$\Omega$的區別：
$F={A,B,C}$，則$\Omega=\{\{A,B,C\},\{A,B\},\{B,C\},\{A,C\},\{A\},\{B\},\{C\},\varnothing \}$
0/2：條件概率公式
$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
（$B$事件發生並且$A$事件的概率等於$B$事件發生情況下$A$、$B$同時發生的概率）
0/3：全概率公式
$P(A) = \sum\limits_{i} P(A | B_i) * P(B_i)$
基本思想：將事件$A$分解成幾個小事件，通過求小事件的概率，然后相加從而求得事件$A$的概率。而將$A$分割時，並非對$A$直接進行分割，而是找到樣本空間$\Omega$的一個划分，從而將$A$事件分成幾個部分。
舉個例子：P(我和remarkable有一個人很有錢)=P(這個人是remarkable)*P(remarkable很有錢|這個人是remarkable)+P(這個人是我)*P(我很有錢|這個人是我)
（以上柿子等價於：$\frac{1}{4}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}+0*0 $）
0/4：貝葉斯公式
$P(B_i | A)=\frac{P(B_i)P(A | B_i)}{\sum\limits_{j=1}^nP(B_j)P(A | B_j)}$
基本思想：與全概率公式相反，貝葉斯公式是建立在大事件A已經發生了的基礎上，分割中小事件$B_i$的概率。
柿子意義：計算在$A$事件發生的條件下發生$B_i$事件的概率。
0/5：期望
期望是“隨機變量的期望”。
（啥是隨機變量 /懵逼臉.jpg）
隨機變量是定義在概率空間上的函數。隨機試驗的結果不同，隨機變量的取值不同。
不同的基本結果可能導致隨機變量取到相同的數值。
對於隨機變量X，它的期望$E(X)=\sum$ 基本結果i發生的概率*發生基本結果i時X的數值，（i是一個基本結果）
期望具有可加性，也叫期望的線性性：$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
（基礎知識簡單然而就是不會做題，趕緊找題刷去了……）
0/F：一些idea和題目題解亂堆
偶然看到一些題目，有的並不會，查了題解大概明白了。有的……好像並沒有自己秒掉的。
你有一副撲克牌，$54$張，平均分成三堆，每堆$18$張，求大小王在同一堆的概率。
題解：設隨機事件$A$為大小王在同一堆，$A_i$為大小王同在第$i$堆，則有：
$P(A)=P(A_1+A_2+A_3)$
根據概率的線性性：上式$=\sum\limits_{i=1}^3 P(A_i)$
設$B_i$為大王在第$i$堆的概率，$S_i$為小王在第i堆的概率。
根據條件概率公式：上式$=\sum\limits_{i=1}^3 P(B_i|S_i)*P(S_i)$
$=3*(17/53)*(1/3)=17/53$.
一共有n個牛肉堡，n個雞肉堡，2n個人，求最后兩人拿到同一種漢堡的概率
題解：事件“最后兩人拿到同一種漢堡”不好想，我們可以想它的對立事件“最后兩人拿到不同的漢堡”。
所以我們需要讓前2n-2個人各自拿走n-1種漢堡。由於最后兩種漢堡都剩下了一個，所以前面的每個人都會作出選擇。
事件的全集就變成了$2^{2n-2}$，而我想要的事件是其中n-1個人拿了一種漢堡，$C_{2n-2}^{n-1}$即可。
答案為：$\frac{C_{2n-2}^{n-1}}{2^{2n-2}}$
......