概率與期望知識總結

一、概率

1、定義

概率，亦稱“或然率”，它是反映隨機事件出現的可能性 \((likelihood)\)大小。隨機事件是指在相同條件下，可能出現也可能不出現的事件。例如，從一批有正品和次品的商品中，隨意抽取一件，“抽得的是正品”就是一個隨機事件。設對某一隨機現象進行了\(n\)次試驗與觀察，其中\(A\)事件出現了\(m\)次，即其出現的頻率為\(m/n\)。經過大量反復試驗，常有\(m/n\)越來越接近於某個確定的常數（此論斷證明詳見伯努利大數定律）。該常數即為事件\(A\)出現的概率，常用\(P (A)\) 表示。

2、條件概率

事件\(B\)在事件\(A\)發生的條件下發生的概率=事件\(A\)和事件\(B\)同時發生的概率除以事件\(B\)發生的概率

\(P(A|B) = \frac{P(A\ \bigcap B)}{P(B)}\)

3、全概率公式

如果事件\(B1、B2、B3…Bn\) 構成一個完備事件組，即它們兩兩互不相容，其和為全集；並且\(P（Bi)\)大於\(0\)，則對任一事件\(A\)有

\(P(A)=P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)\)

公式看上去復雜，但其實思路很簡單。

例如，參加比賽，得一等獎、二等獎、三等獎和優勝獎的概率分別為\(0.1、0.2、0.3\)和\(0.4\)

這\(4\)種情況下，你會被媽媽表揚的概率分別為\(1.0、0.8、0.5、0.1\)

則你被媽媽表揚的總概率為\(0.1 \times 1.0+0.2 \times 0.8+0.3 \times 0.5+0.4 \times 0.1=0.45\)

使用全概率公式的關鍵是“划分樣本空間”，只有把所有可能情況不重復、不遺漏地進行分類，並算出每個分類下事件發生的概率，才能得出該事件發生的總概率。

4、貝葉斯公式

由英國數學家貝葉斯 \(( Thomas Bayes 1702-1761 )\) 發展，用來描述兩個條件概率之間的關系,比如 \(P(A|B)\) 和 \(P(B|A)\)。

按照乘法法則，可以立刻導出：\(P(A∩B) = P(A) \times P(B|A)=P(B) \times P(A|B)\)

如上公式也可變形為：\(P(A|B)=P(B|A) \times P(A)/P(B)\)

將貝葉斯公式與全概率公式合在一起，還會得到下面的式子

二、期望

1、定義

在概率論和統計學中，數學期望\((mean)\)（或均值，亦簡稱期望）是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，是最基本的數學特征之一。它反映隨機變量平均取值的大小。

2、期望的線性性質

有限個隨機變量之和的數學期望等於每個隨機變量的數學期望之和

\(E(aX+bY)=a \times E(X)+b \times E(Y)\)