接下來所說的“隨機切”均指切的位置呈均勻分布。
一根長為 \(1\) 的木棍，隨機切 \(2\) 刀 ，\(3\) 段木棍能組成三角形的概率是多少？
錯誤解法：
以木棍中點分成 \(A,B\) 兩段。
若兩刀均切在同一段內，則三段中最長邊的長度 \(\geqslant\dfrac{1}{2}\)，無法組成三角形。
所以兩刀分別在 \(A,B\) 兩段的概率為 \(\dfrac{1}{2}\)，即答案。
正確解法：
將木棍上每一個點用 \([0,1]\) 內的實數表示。
設兩刀分別切在 \(x,y\in [0,1]\) 的位置。
列不等式組：
\[\begin{cases}0\leqslant x\leqslant1\\0\leqslant y\leqslant1\\ \max(|x-y|,\min(x,y),1-max(x,y))<\dfrac{1}{2}\end{cases} \]
繪制：
占總面積的 \(\dfrac{1}{4}\)，即為答案。
一根長為 \(1\) 的木棍，隨機切 \(2\) 刀 ，中間那段木棍的期望長度是多少？
\[\begin{aligned} Ans & =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|x-y| \, dx \, dy \\ & = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{y}|x-y| \, dx+\int_{y}^{1}|x-y| \, dx\right) \, dy \\ & = \int_{0}^{1}\left(y^2-\int_{0}^{y}x \, dx+\int_{y}^{1}x \, dx-y(1-y)\right) \, dy \\ & = \int_{0}^{1}\left(2y^2-y+\int_{y}^{1}x \, dx-\int_{0}^{y}x \, dx\right) \, dy \\ & = \int_{0}^{1}\left(2y^2-y+\dfrac{(y+1)(1-y)}{2}-\dfrac{y^2}{2}\right) \, dy \\ & = \int_{0}^{1}\left(\dfrac{1}{2}+y^2-y\right) \, dy \\ & = \dfrac{1}{2}+\int_{0}^{1}y^2 \, dy-\int_{0}^{1}y \, dy \\ & = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2} \\ & = \dfrac{1}{3} \end{aligned}\]
一根長為 \(1\) 的木棍，切 \(2\) 刀 ，第 \(1\) 刀隨機切，第 \(2\) 刀從第 \(1\) 刀切出來的左半部分木棍里隨機切，中間那段木棍的期望長度是多少？
\[\begin{aligned} Ans & =\int_{0}^{1}\left(\dfrac{1}{x}\int_{0}^{x}(x-y) \, dy \right)\, dx \\ & =\int_{0}^{1}\dfrac{x}{2} \, dx \\ & =\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1}x \, dx \\ & =\dfrac{1}{4} \end{aligned}\]
Summary
\[\Large{積分YYDS} \]