問題描述：
有一個木桶，里面有M個白球，小明每分鍾從桶中隨機取出一個球塗成紅色（無論白或紅都塗紅）再放回，問小明將桶中球全部塗紅的期望時間是多少？
分析過程：
數學期望類的題目，主要是要理解什么是數學期望，數學期望是干什么用的，關於這些問題的解答，大家可以自己去理解，思考或者翻書，我要講的內容是如何利用這些數學期望的特點。
數學期望的遞歸特性：
飛行棋大家都玩過吧，應該知道每次拋到6，就有一架飛機可以出門了，那么問你一架飛機可以出門的時候，拋篩子次數的數學期望是多少？
你估計會毫不猶豫的說是6（P=1/6，E=1/P=6），但是你思考過深一層次的原因嗎？
好吧，我來告訴你，我們記拋6的期望次數是E，如果第一次拋的是6，那么就是1次，概率是1/6;如果第一次不是6呢，那么次數是1+E，概率為5/6;
那么 E = 1 * (1/6) + (1+E) * (5/6),你可以很容易的解出 E = 6
上面加粗的紅色字體用的就是類似一個遞歸的概念，希望你能理解吧，不行的話，那只能自己去努力理解了，呵呵。
現在我們開始解答上面的問題：
令P[i]代表M個球中已經有i個球是紅色后，還需要的時間期望，去將所有球都變成紅色。
So，給出遞歸式：P[i]= (i/M) * P[i] + (1-i/M)* P[i+1] + 1
我相信大家都能理解這個公式的含義，不過還是解釋一下，在P[i]的情況下，我們選一次球，如果是紅球，那么概率是i/M，子問題還是P[i]，如果是白球，那么概率是1-i/M，子問題是P[i+1]，注意你當前的選球操作要計算在內，即一次
化簡如上遞歸式得：P[i] = P[i+1] + M/(M-i)，顯然P[M] = 0;
所以：
P[M-1] = P[M] + M/1
P[M-2] = P[M-1] + M/2
…
P[0] = P[1] + M/M
綜上：P[0] = 0 + M/1 + M/2 + … + M/M，至此問題已經解決，不過我希望大家學到的不是這個答案，而是分析這個題目的過程
最終答案：
0 + M/1 + M/2 + M/3 + … + M/M