如果知道一個隨機變量的分布函數，就能知道這個隨機變量體現出的隨機性的客觀規律。但是很多時候我們不清楚分布函數是什么。有些時候，對於一批數據來說，未必一定要關心分布函數。比如一批產品，我們可能只關心這批產品的平均使用壽命，這里的平均使用壽命是隨機變量的某個數字指標，稱為隨機變量的數字特征。數字特征與“隨機”沒有任何關系，確切地說是通過一系列計算方法將變量的隨機性消除了。
數學期望的概念
數學期望是一種重要的數字特征，它反映隨機變量平均取值的大小，是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和。這里的“期望”一詞來源於賭博，大概意思是當你下注時，期望贏得多少錢。
簡單地說，數學期望就是均值，我們以一個例子來說明數學期望。
有一個射擊比賽，分為大、中、小三類目標，其分值和命中率如下：
如果一個選手射擊了三次，假設它一定會命中目標，那么期望的平均分是多少？
這個“期望的平均分”就是一個數學期望，看起來挺簡單：
很遺憾，這是錯誤的結果，它忽略的命中率。正確的均值是：
命中率相當於計算機算法中常說的權重（權重等同於概率論中的概率），通過加權平均才能得到合理的均值。因此說，數學期望就是合理的加權平均值，期望體現在合理二字上，期望值並不一定包含在變量的輸出值集合里。
離散型和連續型隨機變量的數學期望
離散型的數學期望容易理解，離散事件的每個取值都對應一個概率：
可以把xi看作得分，pi相當於得到該分值的概率，它的數學期望是所有變量的加權平均：
對於連續型事件來說，某一點的概率是沒有意義的（詳細說明參見上一章的內容），我們要關注的是某兩個點之間的分布。實際上我們可以借助密度函數表達某一點上的概率。設f(x)是連續型事件的密度函數，那么P(x)=f(x)dx，雖然計算f(x)dx沒有意義，也無法計算，但是並不妨礙用它來表達P(x)。現在知道了某一變量的值和該變量下事件發生的概率（權重），可以計算它的數學期望（加權平均）了：
隨機變量函數的數學期望
有一個隨機變量X，Y=g(X)，Y的數學期望是什么？
g(X)是將隨機變量包裹在一個函數內，這似乎有些令人迷惑，我們仍然以射擊的例子說明。
之前的射擊比賽得分太低，組織方打算提高分值，具體做法是在原來的分值基礎上乘以100，即g(x) = 100x：
現在的目標是計算g(X)的數學期望。這次沒那么難以理解了：
雖然得分變了，但命中率未變，也就是每個變量出現的概率沒有變。將問題泛化，如果X是離散型隨機變量，那么隨機變量函數Y=g(X)的數學期望是：
如果X是連續型隨機變量，那么隨機變量函數Y=g(X)的數學期望是：
其中f(x)dx仍然相當於X=x時事件發生的概率P(x)。
數學期望的性質
設C為一個常數，X和Y是兩個隨機變量，則：
性質1是說期望是作用在隨機變量上的，對常數無效；性質3和性質4可以推到到任意有限個相互獨立的隨機變量之和或之積的情況。
作者：我是8位的
