若隨機變量 \(X\) 的分布用分布列 \(p(x_i)\) 或用密度函數 \(p(x)\) 表示,則 \(X\) 的某一函數 \(g(X)\) 的數學期望為
\[\tag{1}E[g(X)]=\begin{cases} \displaystyle \sum\limits_{i} g\left(x_{i}\right) p\left(x_{i}\right), & \text {在離散場合} \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} g(x) p(x) \mathrm{d} x, & \text {在連續場合 } \end{cases} \]
數學期望的性質
若 \(c\) 是常數,則 \(E(c)=c\) .
證明：
如果將常數 \(c\) 看作僅取一個值的隨機變量 \(X\),則有 \(P(X=c)=1\) , 從而其數學期望 \(E(c)= E(X)= c\times 1 =c\).
對任意常數 \(a\) , 有 \(E(aX)=aE(X)\) .
證明：
在 \((1)\) 中令 \(g(x)=ax\) , 然后把 \(a\) 從求和號或積分號中提出來即得.
對任意的兩個函數 \(g_1(x)\) 和 \(g_2(x)\) 有
\[E\left[g_{1}(X) \pm g_{2}(X)\right]=E\left[g_{1}(X)\right] \pm E\left[g_{2}(X)\right] \]
證明：
在 \((1)\) 中令 \(g(x)=g_1(x)\pm g_2(x)\) , 然后把和式分解成兩個和式 , 或把積分分解成兩個積分即得.
方差的性質
\[\operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2} \]
證明：
\[\begin{align*} \operatorname{Var}(X)&=E(X-E(X))^{2}=E\left(X^{2}-2 X \cdot E(X)+(E(X))^{2}\right)\\ &=E\left(X^{2}\right)-2 E(X) \cdot E(X)+(E(X))^{2}=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2} \end{align*} \]
\(c\) 為常數, 則 \(\operatorname{Var}(c)=0\) .
證明：
\[\operatorname{Var}(c)=E(c-E(c))^{2}=E(c-c)^{2}=0 \]
若 \(a,b\) 為常數 , 則 \({\rm Var}(aX+b)=a^2{\rm Var}(X)\) .
證明：
\[\begin{align*} {\rm Var}(aX+b)&=E(aX+b-E(aX+b))^2\\ &=E(a(X-E(X)))^2\\ &=a^2{\rm Var}(X) \end{align*} \]