本文作者frankchenfu，blogs網址http://www.cnblogs.com/frankchenfu/，轉載請保留此文字。
1、什么是數學期望？
數學期望亦稱期望、期望值等。在概率論和統計學中，一個離散型隨機變量的期望值是試驗中每一次可能出現的結果的概率乘以其結果的總和。
這是什么意思呢？假如我們來玩一個游戲，一共52張牌，其中有4個A。我們1元錢賭一把，如果你抽中了A，那么我給你10元錢，否則你的1元錢就輸給我了。在這個游戲中，抽中的概率是$\frac{1}{13} ( \frac{4}{52} ) $，結果是贏10元錢；抽不中概率是$\frac{12}{13}$，結果是虧1元錢。那么你贏的概率，也就是期望值是$-\frac{2}{13}$。這樣，你玩了很多把之后，一算賬，發現平均每把會虧$-\frac{2}{13}$元。
一般在競賽中，若X是一個離散型的隨機變量，可能值為$x_1,x_2$……，對應概率為$p_1,p_2$……，概率和為1，那么期望值$E(X)=\sum_{i}{}{p_i x_i}$
對於數學期望，我們還應該明確一些知識點：
（1）期望的“線性”性質。對於所有滿足條件的離散型的隨機變量X，Y和常量a，b，有：$E(aX+bY)=a E(x)+b E(y)$；
類似的，我們還有$E(XY)=E(X)+E(Y)$。
（2）全概率公式 假設{$B_n \mid n = 1,2,3,...$}是一個“概率空間有限或可數無限”的分割，且集合$B_n$是一個“可數集合”，則對於任意事件A有：
$P(A)=\sum_{n}{}{P(A \mid B_n)P(B_n)}$
（3）全期望公式 $E(Y)=E(E(Y \mid X))=\sum_{i}{}{P(X=x_i)E(Y \mid X=x_i)}$
2、數學期望怎么用？
確實，數學期望在數學的范圍里是一個較為復雜，但是卻十分有用的一個部分。
但是題型類型多，花樣也多，有時無從下手。明知是數學期望，卻找不到正確的算法解決問題。
於是，我們來分析一下：
（1）對於很大一部分的期望問題，遞推是個好幫手。我們一般在草稿紙上，把題目中隱含的期望值之間的關系，然后經過計算等方法，找出一個遞推式。這個遞推式，不要求我們枚舉每一種可能（不然就沒有用遞推的意義了），而是根據一些已有的，或是可以直接簡單地推算出的期望值，算出其他狀態下的期望。這個道理道理大家也都明白，可是有時是很難找到遞推式的。這時，我們就應該用我們之前講過的期望的定義——$E(X)=\sum_{i}{}{p_i x_i}$，然后再結合期望的“線性”性質和全概率、全期望公式，一步步地像“剝筍皮”一樣，找到問題的核心，這樣效果往往很好。
（2）另外，有決策、滿足最優子結構的期望問題，我們還可以考慮人們常常與“遞推”弄混的“動態規划”。這里，我們一般用期望表示狀態，期望的正負高低，就能決定這個狀態的優和劣。
（3）對於上述兩種方法都不能解決的，這也算是比較少了。這時，常見的嘗試方法之一就是高斯消元法。我們可以先嘗試建立一個線性方程組，然后進行高斯消元等操作。
3、數學期望例題
上面講了這么多，這里補充一道例題，大家不妨參考一下。
題目描述
“……在2002年6月之前購買的百事任何飲料的瓶蓋上都會有一個百事球星的名字。只要湊齊所有百事球星的名字，就可參加百事世界杯之旅的抽獎活動，獲得球星背包，隨聲聽，更克赴日韓觀看世界杯。還不趕快行動！”
你關上電視，心想：假設有n個不同的球星名字，每個名字出現的概率相同，平均需要買幾瓶飲料才能湊齊所有的名字呢？
輸入輸出格式
輸入格式：
整數n（2≤n≤33），表示不同球星名字的個數。
輸出格式：
輸出湊齊所有的名字平均需要買的飲料瓶數。如果是一個整數，則直接輸出，否則應該直接按照分數格式輸出，例如五又二十分之三應該輸出為：
3
5--
20
第一行是分數部分的分子，第二行首先是整數部分，然后是由減號組成的分數線，第三行是分母。減號的個數應等於分母的為數。分子和分母的首位都與第一個減號對齊。
分數必須是不可約的。
輸入輸出樣例
2
這里這道題目就是典型的概率期望題。
假設
為一共有n個球星，現在有k個沒有收集到，還需要購買的平均次數，則：
移項並整理得遞推式：
也就是說，我們要求的就是：
代碼這里就不給出了，有興趣的同學可以自己嘗試着完成這道題。
這篇博客暫時就講到這里，希望對大家有所幫助，謝謝！