概率期望整理

目錄

• 概率
• 條件概率
• 全概率
  • 全概率公式:
• 貝葉斯公式
• 獨立事件
• 期望
  • 全期望公式
• 后序補充

概率

公式:
\(A∩B=∅→P(A∪B)=P(A)+P(B)\)
沒什么好說的.
兩個集合無交集,那么他們的並集發生的概率就是兩個事件發生概率的和.
如果兩個集合之間有交集,利用容斥.
\(A∩B ≠ ∅ → P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)\)

條件概率

\(P(A|B)=\dfrac {P(A∩B)}{P(B)}\)
百度百科對條件概率的解釋:條件概率
就是在事件B中事件A發生的概率.

全概率

\[∀B_i,B_j∈Ω，B_i∩B_j=∅$$ $$⋃B_i=Ω \]

對於任意的兩個B集合.他們的交集都為空集.
且他們的並集為全集.
那么就有

全概率公式:

\[P(A)=\sum_{i}P(A|B_i)∗P(B_i) \]

貝葉斯公式

\[P(A|B)=\dfrac {P(B|A)*P(A)}{P(B)} \]

套用全概率公式:

\[P(B_i | A) = \dfrac {P(A|B_i) * PB_i}{\sum_{j=1}^{n}P(B_i|B_j)*P(B_j)} \]

獨立事件

判斷事件是否為獨立事件(\(A∩B = ∅\))
\(P(A∩B) = P(A) * P(B)\)

期望

參見百度百科
本人拙見:發生事件的概率乘以價值.
學術語言:在概率論和統計學中,個離散型隨機變量的期望值是試驗中每次可能結果的概率乘以起結果的總和.
信息學競賽中的題目,大多數都是求離散型隨機變量的數學期望.如果X是一個離散型隨機變量,輸出值為\(x_1,x_2...\)和輸出值所對的概率\(p_1,p_2...\)(概率和為1)那么期望值$$E(x)=\sum_ip_ix_i$$
性質:
設C為一個常量
\(E(C) = C\)
\(E(C X) = C * E(X)\)
\(E(X+Y)=E(X) + E(Y)\)(和的期望等於期望的和)
線性性質:對於任意的隨機變量X,Y和常量a,b.有\(E(a*X+b*Y) = a*E(X) + b*E(Y)\)
當隨機變量\(X,Y\)獨立時.\(E(XY) = E(X)*E(Y)\)
期望的線性性是始終成立的,無論兩隨機變量是否成立.

全期望公式

咕咕.

后序補充

關於平均值和期望是否可以混用.
引用知乎橘士奇的一句話
期望是對未來的預期，均值是對過去的總結。
參考資料:
1.概率與期望學習筆記 - remoon
2.百度百科