錯排公式

錯排問題

　　錯排問題是組合數學中的問題之一。一個含有n個元素的排列，若這個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那么這樣的一個排列就是原排列的一個錯排。

求解方法

　　對於情況較少的排列，可以使用枚舉法。

　　當n=1時，只有一種排列情況且不是錯排，D₁=0；

　　當n=2時，全排列有兩種，1、2和2、1，后者是錯排，D₂=1；

　　當n=3時，全排列有3！=6種，錯排有兩種，D₃=2；

　　D₄=9、D₅=44、D₆=265……

　　對於排列數比較多時，枚舉的方法就不合適了，可以用遞推思想推導。

　　當n>=3時，我們假設數字n在第k個位置上，這時k必須滿足1≤k≤n-1。此時有兩種情況：

　　　　1.數字k在第n個位置上時，n和k唯一確定了，且滿足錯排條件。剩下n-2個數字，即D_n-2；

　　　　2.數字k不在第n個位置上，此時有n-1個數字的錯排情況，即D_n-1；

　　所以對於每一種確定的k值，有D_n=D_n-1+D_n-2，又由於k有n-1個符合的值，所以最終結論是

　　D_n=(n-1)*(D_n-1+D_n-2)

 

 

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例題

　　hdu2048——基礎題

　　hdu2049——簡單應用，組合數+錯排