隨機洗牌算法Knuth Shuffle和錯排公式

Knuth隨機洗牌算法：譬如現在有54張牌，如何洗牌才能保證隨機性。可以這么考慮，從最末尾一張牌開始洗，對於每一張牌，編號在該牌前面的牌中任意一張選一張和當前牌進行交換，直至洗到第一張牌為止。參考代碼如下：

void knuth() {
        for (int i = 54; i > 1; i--) {
            int id = rand() % (i - 1) + 1;
            swap(a[i], a[id]);
        }
    }

由上述方法可知，每一張牌經過洗牌之后一定不會出現在原來位置，那么一共會有多少情況呢，這其實就是錯排的定義，n個數的錯排數有如下遞推公式：

f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2))

公式的推導：首先讓我們假設已知n-1個數和n-2個數的錯排數，這時又在原來基礎上加了一個數字，那么如果這n個數要構成錯排，新加入的數字一定不能出現在自己的位置上，所以它只能選擇其余的n-1個位置，不妨設選擇了第k個位置，那么原本在第k個位置上的數又會跑到哪里去呢，這里有兩種情況，原本的第k個數跑到第n個數的位置上去了，這時這兩個數只是相互交換了位置，其余的n-2個數怎么排列完全不受影響，故此時有f(n-2)種情況；再考慮原本第k個數不在第n個數的位置上，那么除去第n個數，其余的n-1個數任然構成錯排，錯排數為f(n-1)。至此就可得遞推式f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2));