因子個數_錯排公式

一、一個整數的因數個數

1、做法：將整數N分解為冪的形式相乘。N = a^m*bⁿ,則因數個數為：(m+1)*(n+1)。

1.數360的約數有多少個?這些約數的和是多少? 【分析與解】 360分解質因數:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；  360的約數可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整數,且a為0～3,6為0～2,c為0～1)． 因為a、b、c的取值是相互獨立的,由計數問題的乘法原理知,約數的個數為(3+1)×(2+1)×(1+1)=24． 我們先只改動關於質因數3的約數,可以是l,3,32,它們的和為(1+3+32),所以所有360約數的和為(1+3+32)×2y×5w； 我們再來確定關於質因數2的約數,可以是l,2,22,23,它們的和為(1+2+22+23)，所以所有360約數的和為(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w； 最后確定關於質因數5的約數,可以是1,5,它們的和為(1+5),所以所有360的約數的和為(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)． 於是,我們計算出值:13×15×6=1170． 所以,360所有約數的和為1170． 評注:我們在本題中分析了約數個數、約數和的求法.下面我們給出一般結論： I.一個合數的約數的個數是在嚴格分解質因數之后,將每個質因數的指數(次數)加1后所得的乘積.
如:1400嚴格分解質因數后為23×52×7,所以它的約數有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個.(包括1和它自身) 　　Ⅱ.約數的和是在嚴格分解質因數后,將M的每個質因數最高次冪的所有約數的和相乘所得到的積．
如：21000=23×3×53×7,所以21000所有約數的和為(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．

另外，從1開始寫出可以整除的數，知道相鄰兩個數相乘為N為止，即可算出因子個數。

求10的因數個數。1,2,5.此時2*5=10.因子個數2n=2*2=4；

或者求N得1到sqrt(N),因子個數n，則2n即為所求。

A,B兩數都僅含有質因數3和5,它們的最大公約數是75.已知數A有12個約數，數B有10個約數，那么A,B兩數的和等於多少? 【分析與解】 :由題意知A可以寫成3×52×a，B可以寫成3×52×b,其中a、b為整數且只含質因子3、5. 即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均為自然數(可以為0) 由題中條件知A、B中有一個數質因數中出現了兩次5,多於一次3,那么,先假設它出現了N次3,則約數有:(2+1)×(N+1) = 3×(N+1)個 12與10其中只有12是3的倍數,所以3(N+1)=12,易知N=3,這個數是A，即A=33×52=675． 那么B的質數中出現了一次3,多於兩次5,則出現了M次5,則有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875． 那么A,B兩數的和為675+1875=2550．

2、完全平方數（除0外）有奇數個約數。

寫出從360到630的自然數中有奇數個約數的數． 【分析與解】 一個合數的約數的個數是在嚴格分解質因數之后,將每個質因數的指數(次數)加1后所得的乘積.如:1400嚴格分解質因數后為23×52×7,所以它的約數有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個.(包括1和它自身) 如果某個自然數有奇數個約數,那么這個數的所有質因子的個數均為偶數個.這樣它們加1后均是奇數,所得的乘積才能是奇數.而所有質因數的個數均是偶數個的數為完全平方數.即完全平方數(除0外)有奇數個約數,反過來,有奇數個約數的數一定是完全平方數． 由以上分析知,我們所求的為360～630之間有多少個完全平方數?
    18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之間的完全平方數為192,202,212,222,232,242,252． 即360到630的自然數中有奇數個約數的數為361,400,441,484,529,576,625．

2015盞燈，初始全滅；第一次按編號為1的倍數的燈按下，第二次把編號為2的倍數的燈按下，。。。最后把編號為2015的倍數的燈按下。

最后亮燈個數：44

每盞燈按奇數次后為亮燈，該燈編號滿足約數有奇數個即可，該燈編號為一個完全平方數。

44² <2015 <45²   .

3、分數的最大公約數和最小公倍數（其中（a,b）表示最大公約數，[a,b]表示最小公倍數）

評注:求一組分數的最小公倍數,先將這些分數化為最簡分數,將分子的最小公倍數作為新分數的分子,將分母的最大公約數作為新分數的分母,這樣得到的新分數即為所求的最小公倍數；

求一組分數的最大公約數,先將這些分數化為最簡分數,將分子的最大公約數作為新分數的分子,將分母的最小公倍數作為新分數的分母,這樣得到的新分數即為所求的最大公約數.

3條圓形跑道,圓心都在操場中的旗桿處,甲、乙、內3人分別在里圈、中圈、外圈沿同樣的方向跑步.開始時,3人都在旗桿的正東方向,里圈跑道長千米,中圈跑道長千米,外圈跑道長千米.甲每小時跑3千米,乙每小時跑4千米,丙每小時跑5千米.問他們同時出發,幾小時后,3人第一次同時回到出發點?

 

4、最大公因數和最小公倍數的關系

最大公因數一般采取輾轉求余的方法。

甲數和乙數的最大公約數是6最小公倍數是90.如果甲數是18,那么乙數是多少？ 【分析與解】 有兩個數的最大公約數與最小公倍數的乘積等於這兩數的乘積.有它們的最大公約數與最小公倍數的乘積為6×90=540，則乙數為540÷18=30．

 5、

若三個連續的自然數中存在兩個偶數,那么它們的最小公倍數為三個數乘積的一半；

若三個連續的自然數中只存在一個偶數，那么它們的最小公倍數為三個數的乘積．

 6、

甲、乙兩數的最小公倍數是90，乙、丙兩數的最小公倍數是105，甲、丙兩數的最小公倍數是126，那么甲數是多少?   

    【分析與解】  對90分解質因數:90=2×3×3×5.

     因為5除不盡126,所以5甲,即甲中不含因數5,於是乙必含因數5．   

     因為2除不盡105,所以2乙,即乙中不含因數2,於是甲必含2×2．

     因為9除不盡105,所以9乙,即乙最多含有一個因數3．    

     當乙只含一個因數3時,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×3²×5,則甲=2×3²=18；

     當乙不含因數3時,乙=5,由[甲,乙]=90=2×3²×5,則甲=2×3²=18，

綜上所需,甲為18．

  評注:兩個數的最小公倍數含有兩數的所有質因子,並且這些質因數的個數為兩數中此質因數的最大值．

如a=2×3³×5²×7, b=2³×3²×5×7×11,則A、B的最小公倍數含有質因子2,3,5,7,11,並且它們的個數為a、b中含有此質因子較多的那個數的個數.即依次含有3個,3個,2個,1個,1個,即[a,b]=2³×3³×5²×7×11．

 7、

a>b>c是3個整數.a,b,c的最大公約數是15；a,b的最大公約數是75；a,b的最小公倍數是450；b,c的最小公倍數是1050.那么c是多少?

   【分析與解】  由(a,b)=75=3×5²,[a,b]=450=3²×2×5²=75×3×2,又a﹥b所以

a = 450, b = 75. 或者 a = 225, b = 150. 

  [b,c]=1050=2×3×5²×7.

當a = 225, b = 150.  時有(450,75,c) = (75,c)=15; [b,c]=[75,c]=1050，因為兩個數的最大公約數與最小公倍數的乘積等於這兩個數的乘積,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不滿足；

當a = 450, b = 75時，(225,150,c) = (75,c)=15; [b,c]=[150,c]=1050 ,則c=105,c﹤b,滿足,即為滿足條件的為一解．

那么c是105.

8、質因數分解，全都是套路。

有4個不同的自然數,它們的和是1111,它們的最大公約數最大能是多少?

   【分析與解】  設這4個不同的自然數為A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．

    將1111分解質因數:1111=11×101,顯然A、B、C、D的最大公約數最大可能為101,記此時A=101a，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,當a+b+c+d=1+2+3+5時滿足,即這4個數的公約數可以取到101．

    綜上所述,這4個不同的自然數,它們的最大公約數最大能是101．

    評注:我們把此題稍做改動:“有5個不同的自然數,它們的和是1111,它們的最大公約數最大能是多少?”,大家不妨自己試試．

二、排錯問題

 f(n) = (n - 1)(f(n - 1) + f(n - 2))

百度百科：

第一步，把第n個元素放在一個位置，比如位置k，一共有n-1種方法；

第二步，放編號為k的元素，這時有兩種情況：

⑴把它放到位置n，那么，對於剩下的n-1個元素，由於第k個元素放到了位置n，剩下n-2個元素就有D(n-2)種方法；

⑵第k個元素不把它放到位置n，這時，對於這n-1個元素，有D(n-1)種方法；   // 相當於元素k的位置時n，且不放在自己的位置上。