淺談錯排公式的推導及應用

近期學弟在HDU刷題時遇到了關於錯排公式的一些問題，我作為過來人就寫這篇博客來指導他們~~~

錯排的定義：一段序列中一共有n個元素，那么可知這些元素一共有n!種排列方法。假如在進行排列時，原來所有的元素都不在原來的位置，那么稱這個排列為錯排。而錯排數所指的就是在一段有n個元素的序列中，有多少種排列方式是錯排。

遞歸關系：D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))  特別地有D(1)=0,D(2)=1；

錯排公式：D(n)=(n!)[(-1)^0/0!+(-1)^1/(1!)+(-1)^2/(2!)+(-1)^3/(3!)+......+(-1)^n/(n!)]；   其中n!=n*(n-1)*(n-2)*......3*2*1      特別地有0!=1  1!=1

首先來對遞歸公式進行解釋：

n個不同的元素的一個錯排公式可以分作兩步完成：

第一步：假設我們錯排第一個元素，那么它可以從2~n的位置任意選擇其中的一個，一共是有n-1種選擇。

第二步：錯排其余n-1個元素，也是需要分情況和種類的。因為這需要看第一步的結果，如果第一個元素落在第k個位置上，第二步就需要把k號元素進行錯排，k號元素錯排位置的不同將導致不同的情況會發生：

1.假設k號元素正好落在了第一個元素的位置，那么就可以將第一個元素和第k個元素完全剔除出去，因為相當於只是他們兩者互換了位置，其他元素暫時還沒有發生變動。留下來的n-2元素進行錯排的話，那么我們就可以得到了D(n-2)種 的錯排方式。

2.若k號元素不排到第一個元素的位置，我們可以暫時將現在排在k號位置的第一個元素剔除出去，生下來的就只包含k號元素和原來n-2個的元素了。這時，我們可以將原來的第一個元素的位置看做是現在k號元素的原本位置，因為k號元素不能夠放在原來的位置上，所以就相當於是原來的n-2個元素和k共計n-1個元素進行完全的錯排。那么一共就有D(n-1)種方法。 第二種情況希望大家仔細理解！配一張圖便於理解

 

那么，我們有根據加法原理，完成第二步有D(n-2)+D(n-1)種方法。

根據乘法原理得到D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2)) 。遞推關系解釋完畢。

下面我們來推一下錯排公式

前提假設D(n)=n!N(n) 那么我們根據上面的遞推公式可以得到n!N(n)=(n-1)[(n-2)!N(n-2)+(n-1)!N(n-1)]，等式右邊合並一下，我們可以得到

n!N(n)=(n-1)!N(n-2)+(n-1)!N(n-1)同時消去(n-1)!可以得到nN(n)=N(n-2)+N(n-1)

 所以就有兩邊同時減去nN(n-1)得到：nN(n)-nN(n-1)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)-nN(n-1)  即有：n(N(n)-N(n-1))=-N(n-1)+N(n-2)

即為(N(n)-N(n-1))/(N(n-1)-N(n-2))=(-1)/n;

同理有(N(n-1)-N(n-2))/(N(n-2)-N(n-3))=(-1)/(n-1);

            (N(n-2)-N(n-3))/(N(n-3)-N(n-4))=(-1)/(n-2);

            ......

            (N(3)-N(2))/(N(2)-N(1))=(-1)/3;

一共我們得到了n-2個等式，我們可以讓左邊的等式相乘，右邊的等式相乘，因為相消，那么我們可以得到的等式是

(N(n)-N(n-1))/(N(2)-N(1))=(-1)^(n-2)/[n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*......4*3]    等式1

又因為(-1)^(n-2)=(-1)^(n) 等式2並且N(2)=D(2)/2!=1/2   N(1)=D(1)/1!=0  所以有N(2)-N(1)=1/2 等式3 將這兩個等式2和3帶入到上面等式1中我們可以得到：

N(n)-N(n-1)=(-1)^n/[n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*......*4*3*2]    即為：N(n)-N(n-1)=(-1)^n/n!

所以有N(n)=(-1)^2/2!+...(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!      又因為存在關系D(n)=n!N(n) 

得到D(n)=n![(-1)^2/2!+...(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n! ]    得證

錯排公式的應用：

 

n封信放入n個信封，要求全部放錯，共有多少種放法，記n個元素的錯排總數為f(n)

 

方法一：

 

某人寫了n封信和n個信封，如果所有的信都裝錯了信封。求所有的信都裝錯信封,共有多少種不同情況。 

 

當N=1和2時，易得解～，假設F(N-1)和F(N-2)已經得到，重點分析下面的情況：

 

1.當有N封信的時候，前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封錯裝。

 

2.前者，對於每一種錯裝，可以從N-1封信中任意取一封和第 N封錯裝，故=F(N-1) * (N-1)。

 

3.后者簡單，只能是沒裝錯的那封信和第N封信交換信封，沒裝錯的那封信可以是前面N-1封信中的任意一個，故= F(N-2) * (N-1)。

 

基本形式：d[1]=0;   d[2]=1 遞歸式：d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])

 

方法二：

 

假設有n封信，第一封信可放在(2-n)的任一個信封里，共n-1種放法，設第一封信放在了第k個信封里，若此時第k封信放在了第1個信封里，則只要將剩下的n-2錯排，即f(n-2)，若第k封信沒有放在了第1個信封里，可將第1封信的位置看成是“第k個位置”，即將n-1封信錯排，即為f(n-1)

 

由遞推可得,f(n)=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2))

 

以下是程序實現：

 

#include<stdio.h>
int fun(int);
int main()
{
    int n,res;
    printf("input a number:");
    scanf("%d",&n);
    res=fun(n);
    printf("There are %d cases.\n",res);
    return 0;
}
int fun(int n)
{
    if(n==1)
        return 0;
    if(n==2)
        return 1;
    return (n-1)*(fun(n-1)+fun(n-2));
}